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NUMEROS COMPLEJOS- i]; e) 0; f) i; g) (13)-i; h) -15.

By Marie Webb,2015-04-04 12:02
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NUMEROS COMPLEJOS- i]; e) 0; f) i; g) (13)-i; h) -15.

     NUMEROS COMPLEJOS

     Conjugado, opuesto, representaciones gráficas. Tipos de complejos.

     1. Clasifica los siguientes números complejos en reales e imaginarios. Di, para cada uno, cuál es la parte real y cuál la imaginaria. a) (3i); b) 1/3-5/2 i; c) 6/5; -3i; d) - i]; e) 0; f) i; g) (1/3)-i; 35

    h) -15.

     2. Escribe tres números complejos imaginarios puros, tres números imaginarios y tres números reales.

     3. Representa gráficamente los números complejos: a) (3+4i); b) -4; c) -2i; d) (-2+3i); e) (1+3i); f) (6-i); g) -2; h) 3i; g) (-1+i).

     4. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de: a) -3+5i; b) 3-2i; c) 1-2i; d) -2+i; e) 6; f) 5i; g) 3; h) -4i.

     5. Indica cuáles de los siguientes números son reales, imaginarios o complejos: a) -9; b) -3i; c) -

    323i+1; d) +(1/2)i; e) (1/3)i; f) ; g) -2i; h)

    (1+3i). Sol: R, I, C, C, I, R, I, C

     6. Representa gráficamente los afijos de todos los números complejos z tales que al sumarlos con su respectivo conjugado, se obtenga dos; es decir: z+z'=2. Sol: recta x=1

     7. Representa gráficamente los números complejos z tales que z-z'=2. ?Qué debe verificar z?. Sol: es imposible

     8. Representa gráficamente los opuestos y los conjugados de a) -2-i; b) 1+i; c) 3i.

     9. Escribe en forma trigonométrica y polar los complejos: a) 4+3i; b) -1+i; c) 5-12i. Sol: a)5; b) ; c) 13 271,56º135º292,6º

     10. Escribe en las formas binómica y

    trigonométrica los números complejos: a) 3; b) 3; π/3135º

    c) 1. Sol: a) 3(cos60+isen60)=3/2+3/2 i; b) 3270º

    3(cos135+isen135)=-3/2+3/2 i; c) 22

    cos270+isen270=-i

     11. Calcula tres argumentos del número complejo 1-i. Sol: a) 315º, 675º; 1035º

     12. ?Cuáles son el módulo y el argumento del conjugado de un número complejo cualquiera r. Sol: α

    r. 360-α

     13. Expresa en forma binómica y en forma polar el conjugado y el opuesto del número complejo: 6. 30º

    33Sol: a) 6, (3-3i); b) 6, (-3-3i) 330º210º

     14. Escribe en forma módulo-argumental (polar)

    214los números complejos: a) 6-8i; b) +i;

     c) -3+4i. Sol: a) 10; b) 4; c) 5 306,9º69,3º126,9º

     15. Escribe en forma binómica el complejo R=2(cos45º+isen45º). Represéntalo gráficamente. Sol:

    22a) +i

     16. El módulo de un número complejo es 5 y su argumento 600º. Escribe el número en forma trigonométrica. Sol: 5(cos240+isen240)

     17. ?Qué argumento tiene el siguiente número complejo?: 4(3-2i)+5(-2+i).

     Sol: 303,7º

     18. Averigua como debe ser un complejo r para α

    que sea: a) un número real; b) un número imaginario puro. Sol: a) α=0+kπ; b) α=90+kπ

     19. Escribe en forma polar: a) 1+i; b) -1+i; 33

    c) 1-i; d) -1-i; e) 3+3i; f) -3-3i. Sol: a) 3333

    2; b) 2; c) 2; d) 2; e) , f) 666012030024030210

     20. Escribe en forma binómica: a) 2; b) 1; 60;(3π/2)

    c) 5; d) 2; e) 4; f) 6. Sol: a) (1+i); 3450º180º750º(π/3)

    b) -i; c) 5i; d) -2; e) (2+2i); f) (3+3i) 33

     21. Escribe todos los números complejos cuyos afijos estén en la circunferencia de centro (1,2) y radio 5. Sol: (5 cosα+1,(5 senα+2)i)

     22. Escribir en forma polar y trigonométrica los números complejos: a) +3i; b) -1-i; c) 2-2i. 3

     Sol: a) , (cos60º+isen60º); b) , 1212260º225º

     (cos225º+isen225º); c) 2 22, 22315º

    (cos315+isen315)

     23. Escribe en forma binómica y trigonométrica los números complejos: a) 6, b) 2, c) 2. Sol: π/345º300º

    3a) 6(cos60+isen60)=(3,3i); b)

    222(cos45+isen45)=(+i); c) 2(cos300+isen300) = 1-3i

     24. Representar gráficamente los opuestos y los conjugados de: a) -3-i; b) 1+i; c) +3i.

     25. Escribir en forma binómica:

    36(cos30º+isen30º). Sol: 3-3i

     26. Hallar el módulo y el argumento de: a) (1+i)/(1-i). b) (1+i)(2i).

    8 Sol: a) 1; b) 90135

     27. ?Qué figura representan en el plano los puntos que tienen de coordenadas polares (3,), α α

    variable? ?y los que tienen (r,90º), r variable?.

     Sol: a) circunferenciade centro (0,0) y radio 3; b) semieje OY positivo

     28. dado z = r. Expresar en forma polar: a) -z, α-13b) z, c) el conjugado de z, d) z.

    3 Sol: a) r; b) (1/r); c) r; d) r 180+α-α-α3α

     Sumas, Restas, Productos, Divisiones. Mixtos

     1. Efectúa las siguientes operaciones entre números complejos: a) (2+3i)+(4-i); b) (3+3i) - (6+2i); c) (3-2i) + (2+i) - 2(-2+i); d) (2-i)-(5+3i) + (1/2);(4-4i).

     Sol: a) (6+2i); b) (-3+i); c) (9-3i); d) -1-6i

     2. Multiplica los siguientes números complejos: a) (1+2i);(3-2i); b) (2+i) ; (5-2i); c) (i+1);(3-

    2i);(2+2i); d) 3;(2-i)(2+3i);i.

     Sol: a) 7+4i; b) 12+i; c) 8+12i; d) -12+21i

     3. Efectúa las siguientes divisiones de números complejos: a) (2+i)/(1-2i); b) (7-i)/(3+i); c) (5+5i)/(3-i); d) (3-i)/(2+i); e) (18-i)/(3+4i). Sol: a) i; b) 2-i; c) 1+2i; d) 1-i; e) 2-3i

     4. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica: a) 5-3;[3+(2/3)i]; b) [2i ; (-i+2)] / 2(1+i); c) [(-2i);(1+3i)]/(4+4i); d)

    [(1+3i);(1+2i)]/(1+i). Sol: a) -4-2i; b) 3+i; c) -2-i; d) 5i

     5. Dado el número complejo z=2+2i, calcula y representa: a) su conjugado (z'); b) la suma z+z'; c) el producto z;z'. Sol: a) 2-2i; b) 4; c) 8

     6. Calcula: a) (3+i);(2+i)-(1-i);(2-2i); b) (3-

    2i)+(1+2i);(6-2i)-(2-i); c) (3+2i)+(2-4i);6. Sol: a)

    (5+9i); b) 11+9i; c) 15-22i

     7. Efectúa los siguientes productos y expresa el resultado en forma polar y binómica: a) (cos30º+isen30º);[2(cos15º+isen15º)]; b)

    [2(cos23º+isen23º)] ; [3(cos37º+isen37º)]; c) [5(cos33º+isen33º)];2; d) (2+2i);(1-i); e) 57º

    (3+4i);1. Sol: a) 2 = +i; b) 6 = 3+3i); 223180º45º60º

    c) 10=10i; d) 4=4; e) 5=-3-4i 90º233º

     8. Efectúa las siguientes operaciones: a) 1;3; 150309b) 6:2; c) 2;1;2; d) 6:3; e) (5); f) 601520º3070(2π/3)90ºπ/94(2+2i). Sol: a) 3; b) 3; c) 4; d) 2; e) 180º45º120º30º

    59; f) 64 180º180º

     9. Efectúa las siguientes operaciones: a) 2;3; b) 4:2; c) 5;2;1; d) 4:2; e) 105º85º65º15º22º28º30º150º(π/2)34(2); f) (3). 20º60º

     Sol: a) 6; b) 2; c) 10; d) 2; e) 8; f) 19050806060

    81 240

     10. Calcula el inverso de los números complejos siguientes y representa gráficamente el resultado: a) 2, b) 4i; c) -3+i. (π/2)

     Sol: a) (1/2); b) -0,25i; c) (-3/10)-(1/10)i (-π/2)

     11. ?Cómo es gráficamente el inverso de un número complejo?. ?Cuál es su módulo?. ?Y su argumento?. Sol: a) perpendicular; b) módulo=(1/r), argumento=-α

     12. Simplifica las expresiones:

     223232451515304560 a) b) c) 46313001209030

     Sol: a) 1; b) 2; c) 1 30º30º330

     13. Efectúa algebraica y gráficamente las operaciones con números complejos: a) (3+2i)+(2-3i); b) (-3+2i)+(-2-i); c) (2-i);i; d) (-2+i);i.

     Sol: a) (5-i); b) (-5+i); c) (1+2i); (-1-2i)

     14. Calcular los siguientes productos: a) 2(cos23º+isen23º);5(cos12º+isen12º). b) (1+i);(2). 30º

    c) 2(cos18º+isen18º) ;(3). 22º

    33 Sol: a) 10(cos35+isen35); b) (-1+)+(1+)i;

    c)6 40º

    3 15. Resolver las ecuaciónes: a) x-27=0. b) 5x+32=0.

     Sol: a) x=3; x=3; x=3; b) 2 12024036+72k

     -1 16. Dados z=(1,3), w=(2,1) Hallar z-w; z;w; z.

     Sol: a) -1+2i; b) -1+7i; c) (1/10)-(3/10i)

     17. Dados z=-1+3i, w=-2+i. Calcular y 2representar a) z+w; b) z;w; c) z, d) z+w'; e) z/w.

     Sol: a) -3+4i; b) -1-7i; c) -8-6i; d) -3+2i; e) 1-i

     18. Efectua las siguientes operaciones: a) 6. b) 8/4. 290º15º120ºπ/2

     Sol: a) 3, b) 2 7530

    3217 . ii 19. Halla Sol: 1 23 . ii

     20. Halla el módulo de los complejos:

    (2 - i) (-1 + 2i) a) z=-2i(1+i)(-2-2i)(3); y b) w = Sol: a) (1 - i) (1 + i)

    24; b) 5/2

     21. Representa gráficamente las sumas: a) (-i)+(3-i); b) (-2+i)+(3-2i).

     22. Representa gráficamente el número complejo 3-2i. Aplícale un giro de 90º alrededor del origen. ?Cuál es el nuevo número complejo?. Multiplica ahora 3-2i por i. Sol: 2+3i; 12+5i

    2 - 4iz = 23. Halla el módulo de . Sol: |z|=1 4 + 2i

     Ecuaciones

     1. Resuelve las siguientes ecuaciones y di en

    22qué campo numérico tienen solución: a) x+4=0; b) x-29=0; c) x+1=0.

     Sol: a) ?2i; b) ?3; c) ?i

     22 2. Resuelve las ecuaciones: a) x-2x+5=0; b) x-26x+13=0; c) x-4x+5=0.

     Sol: a) 1?2i; b) 3?2i; c) 2?i

     3. Encuentra los puntos de intersección de la 22circunferencia x+y=2 y la recta y=x. ?Son

    soluciones reales o imaginarias?. Sol: reales: (1,1), (-1,-1)

     4. Encuentra los puntos de intersección de la

    22circunferencia x+y=1 y la recta y=x-3. ?Son soluciones reales o imaginarias?.

    5 Sol: imaginarias x=3/2?(/2)i

     5. ?A qué campo numérico pertenecen las 22soluciones de estas ecuaciones?. a) x-3x+2=0; b) x-

    222x+2=0; c) 2x-7x+3=0; d) (x/2)+8=0.

     Sol: a) Real, x=2, x=1; b) Imaginaria x=1?i; c)

    Real, x=1/2, x=3; d) Imaginaria, x=?4i

     6. Calcula los puntos de intersección de la 22elipse (x/4)+(y/9)=1 con la recta x=5.

     Sol: ?9/4 i

     7. Resuelve las ecuaciones siguientes indicando el campo numérico al que pertenecen las soluciones: 222a) x-4=0; b) x-5=0; c) x+1=0.

    5 Sol: a) ?2; b) ?; c) ?i

     2 8. Resuelve las ecuaciones: a) x-10x+29=0; b) 22x-6x+10=0; c) x-4x+13=0.

     Sol: a) 5?2i; b) 3?i; c) 2?3i

     9. Representa gráficamente las raíces de las

    222ecuaciones: a) x+4=0; b) x+1=0; c) x-9=0; d) 2x+9=0. Sol: a) ?2i; b) ?i; c) ?3; d) ?3i

     10. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas

    raíces sean 2+2i y 2-2i. (Recuerda: x;x=(-b/a); 122x+x=(c/a). Sol: x-4x+8=0 12

     3 11. Resuelve la ecuación x+27=0. Representa gráficamente todas sus soluciones. Sol: x=3, 180º

    x=3, x=3 300º60º

     2 12. Resuelve la ecuación de segundo grado x-

    2x+17=0. Tiene dos raíces complejas. ?Cómo son entre

    sí?. ?Se puede generalizar el resultado?.

     Sol: a) 1?4i; b) conjugadas; c) sí

     35 13. Resuelve las ecuaciones: a) x-8=0; b) x-

    4332=0; c) x-81=0; d) x-1=0.

     Sol: a) x=2; b) x=2; c) x=?3; x?3i; d) x=1, 120k72k

    x=1, x=1 120240

     2 14. Resuelve la ecuación x-4x+5=0 y comprueba que, en efecto, las raíces obtenidas verifican dicha

    ecuación. Sol: a) 2?i

     64 15. Resuelve las ecuaciones x+64=0 y x+81=0.

     Sol: a) x=2; b) x=3 90+60k45+90k

     16. Escribe una ecuación de raíces 1+3i, 1-3i. 2Sol: x-2x+10=0

     17. Probar que 3+i y 3-i son raíces de la 2ecuación x-6x+10. 2 Sol: [x-(3+i)];[x-(3-i)]=x-6x+10

     4 18. Resolver la ecuación: a) x+1=-35. Sol:

    3333x=?i; x=-?i

     Potencias, raíces. Mixtos

     32 1. Calcula las potencias: a) (2-3i); b) (3+i); 234c) i; d) (2+2i).

     Sol: a) -46-9i; b) 8+6i; c) -i; d) -64

     274871233 2. Calcula: a) i; b) i; c) i; d) i; e) i;

    35f) i.

     Sol: a) -i; b) 1; c) -i; d) 1; e) i; f) -i

     3. Sabemos que z=3-2i, que z=4-3i y que z=-3i. 1232Calcular: a) z+2z-z; b) z;(z+z); c) z; d) 2z-12312321

    z+z. 23

     Sol: a) 11-5i; b) -26i; c) 7-24i; d) 2-4i

     342 4. Calcula: a) (1+2i); b) (-3-i); c) (1-3i).

    Sol: a) -11-2i; b) 28+96i; c) -8-6i

     2103123261121 5. Calcula: a) i; b) i; c) i; d) i. Sol:

    a) -1; b) 1; c) -1; d) i

    333 6. Calcula a) (1+i); b) (1-i); c) (-1+i); d) 3(-1-i). Sol: a) -2+2i; b) -2-2i; c) 2+2i; d) 2-2i

     34-1-2 7. Calcula: a) 1/i; b) 1/i; c) i; d) i. Sol:

    a) i; b) 1; c) -i; d) -1

     8. Dados los complejos: z=3; z=2 y z=-2i. 145º230º3223Calcula: a) z;z; b) z / (z); c) (z)/[z;(z)]. 1312123

    Sol: a) 6; b) (3/4); c) (9/16) 315º-15º330º

     9. Calcula, expresando el resultado en forma

    6842polar: a) (1+i); b) [(-1/2)+(/2)i]; c) (1-i).

    Sol: a) 8; b) 1; c) 4 270º240º180º

     10. Calcula las potencias: a)

    46423[2(cos45º+isen45º)]; b) (); c) [ 30º8(cos10º+isen10º)].

     Sol: a) 16; b) 8=-8; c) 9 180180º80º

     11. Calcula las raíces quintas de la unidad. Hazlo expresando 1 como complejo en forma polar.

     Sol: 1; 1; 1; 1; 1 72º144º216º288º

    3-i1+i-16 12. Calcula: a) ; b) ; c)

    666 Sol: a) 1; 1; b) , . ; c) 4, 222135º315º15º135º255º90

    4 270

    1-i63 13. Calcula . Sol: 1/ 25+120k1-3 i

     14. Calcula las raíces siguientes y representa

    3gráficamente las soluciones: a) ; b) ; c) -4-27

    1+i-2733; d) 1-ii

     Sol: a) 2, 2; b) 3, 3, 3; c) 1, 1, 90º270º6018030030150

    1; d) 3, 3, 3 27030150270

     15. Calcula las raíces: a) ; b) 4 (cos60 + i sen60?

    643i; c) ; d) . 27 (cos180 + i sen180?81 (cos120 + i sen120?

    Sol: a) 2, 2; b) 3, 3, 3; c) 3; d) 1 302106018030040+90k15+60k

     16. ?De qué número es (2+3i) raíz cúbica?. Sol: -46+9i

     2 17. a) Opera la expresión (1+3i);(3-4i) y b)

    calcula las raíces cúbicas del resultado. Sol: a)

    35050i; b) 30+120k

     43 18. Calcula el valor de (i-i)/8i y encuentra

    sus raíces cúbicas. Sol: (1/2) 105+120k

    8623 19. Calcula: a) (1+i); b) (-1+i); c) (1+i); 4d) (-2-2i).

     Sol: a) 16; b) 8; c) 10; d) 64 090120180

    452 20. Calcula (i+i)/i. Escribe el resultado en forma polar. Sol: 1 315

     8 21. a) Calcula (cos10º+isen10º); b) Si una raíz

    cúbica de un número es 2i, calcula las otras dos raíces y ese número. Sol: a) 1; b) 2, 2; -80210330

    8i=8 270

     22. Hallar las raíces cúbicas de los complejos:

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