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COMPTE-RENDU DU GROUPE DE PROXIMITE STI DU 7 JANVIER 2005

By Dale Foster,2014-08-29 10:12
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COMPTE-RENDU DU GROUPE DE PROXIMITE STI DU 7 JANVIER 2005

COMPTE-RENDU DU GROUPE DE PROXIMITE STI DU 7 JANVIER 2005

    Le tour de table initial met en avant les points suivants :

    1. les classes de STI sont des classes très hétérogènes

    2. le temps de travail personnel de l’élève à l’extérieur de la classe est minime ;

    comment prendre en compte ce constat dans notre enseignement ?

    3. il y a une différence importante entre le programme (assez ancien) et les épreuves de

    bac.

    4. il y a des différences sensibles de niveau entre les diverses filières STI (mais suivant

    les établissements les profils attendus pour les diverses spécialités diffèrent). Le type

    de bassin industriel qui entoure le lycée a sans doute une influence sur le choix

    d’orientation dans les diverses spécialités STI.

    5. les meilleurs élèves de lycée professionnels continuent en bac professionnel et ne

    viennent pratiquement plus en première d’adaptation. Il faudrait s’interroger sur la

    place et la fonction actuelle de ces classes. Les élèves ayant un bac professionnel

    suivent dificilement en BTS.

    6. les professeurs de collège connaissent généralement mal les filières STI.

    Travail autour de la dérivation :

    1. Quelques extraits du programme :

    ? La dérivation constitue l’objectif essentiel du programme d’analyse de Première ; cet

    objectif est double :

    Acquérir une bonne idée des différents aspects de la dérivation en un point ; Exploiter les énoncé du programme concernant les fonctions dérivées pour l’étude des fonctions.

    …Il n’ y a pas lieu de s’attarder sur la notion de limite….sont hors programme tout exercice de recherche de limite ?

    2. Il semble difficile pour l’ensemble des participants d’aborder l’approximation affine

    au voisinage de 0, ainsi que la définition demandée dans le programme ? f(a+h) = f(a)

    + Ah+hφ(h). ?. De manière générale, le passage par la limite en 0 semble poser

    problème.

    3. Trois activités d’introduction sont proposées sont proposées par les participants :

    Annexe 1 : VERS LA NOTION DE DERIVEE : TANGENTE A UNE COURBE

    Annexe 2 : ACTIVITE : NOMBRE DERIVE

    Annexe 3 : INTRODUCTION DE LA DERIVATION

    Annexe 4 : ACTIVITE D’APPROCHE DE LA DERIVEE

    Les deux premières activités utilisent GEOPLAN, travaillent sur la position limite de la sécante et font chercher le nombre dérivé.

    La troisième aborde la dérivation sous trois aspects : position limite de la sécante, la vitesse et un aspect historique.

    La quatrième utilise des calculatrices en calcul formel, pour faire découvrir le lien entre une fonction et la fonction dérivée (présentée comme une boite noire). 4. Il est important de présenter aux élèves des liens avec les matières de l’enseignement

    technologiques ( ce point sera abordé lors de la troisième demi-journée de cette année).

    d(x)En particulier les diverses notations peuvent être travaillées : f’(x), , x(t)d(t)

    5. Devant les difficultés de mémorisation et le faible temps de travail personnel, il

    semble important de consacrer un temps de classe consacré à la mémorisation, à la

    fabrication de fiche méthodes : ? comment étudier les variations d’une fonction ? ?…

    ANNEXE 1 :

    Vers la notion de dérivée: tangente à une courbe

     Le but de ce T.P. est de chercher une équation d'une droite qui se rapproche le plus d'une courbe en un point donné

    On se propose d'étudier localement la courbe (P) représentative de la fonction f définie par :

     f(x) = 错误! x?-3x+1 au voisinage du point de (P) d'abscisse 0

    1. Tracer la courbe

    Entrer la fonction avec une étude sur [-1,2]

    Définir la fenêtre du graphique de la façon suivante:

     Xmin=-1 Xmax=2 Ymin = -3 Ymax=2

    La courbe obtenue est une ...

    3. Tracé des droites

    On appelle A le point de (P) d'abscisse 0. Quelle est son ordonnée?

     A ( 0 ; )

    On se propose maintenant d'étudier des droites passant par A et un autre point de la courbe Soit B le point de (P) d'abscisse 2. Quelle est son ordonnée? B ( 2 ; ) 11

    Calculer le coefficient directeur de (AB ) a = ... 11

    En déduire l'équation réduite de (AB ) ; l'ajouter sur le graphique 1

    Equation:

    Soit B le point de (P) d'abscisse 1. Quelle est son ordonnée? B ( 1 ; ) 22

    Calculer le coefficient directeur de (AB ) a = ... 22

    En déduire l'équation réduite de (AB ) ; l'ajouter sur le graphique 2

    Equation:

    Soit B le point de (P) d'abscisse 0,5. Quelle est son ordonnée? B ( 0,5 ; ) 33

    Calculer le coefficient directeur de (AB ) a = ... 33

    En déduire l'équation réduite de (AB ) ; l'ajouter sur le graphique 3

    Equation:

    Soit B le point de (P) d'abscisse 0,25. Quelle est son ordonnée? B ( 0,25 ; ) 44

    Calculer le coefficient directeur de (AB ) a = ... 44

    En déduire l'équation réduite de (AB ) ; l'ajouter sur le graphique 4

    Equation:

    4. Exploitation de la figure

    Toutes ces droites sont de plus en plus proches de la courbe, et se rapproche d'une position limite; laquelle?

    En observant les coefficients directeurs des droites, quelle semble être l'équation de cette droite limite?

    Deuxième approche

    On considère maintenant la même courbe (P) (Tracer avec les même conditions que précédemment). Le point A est le même que dans la première approche, et le point M est le point (k ; f(k)) Calculer en fonction de k, l'équation réduite de la droite (AM).

    Pour quelle valeur de k la droite se rapproche-t-elle le mieux de la courbe (P) au voisinage de A? Quelle est alors l'équation de la droite obtenue?

    Vocabulaire

    Le coefficient directeur de la droite qui se rapproche le mieux de la parabole au point A est appelé nombre dérivé de la fonction en 0. Cette droite est appelée la tangente à la parabole au point A (0;1)

    Application:

    Approcher, par l'une des méthodes précédente, le nombre dérivé de f en 2, puis en -1

ANNEXE 2 :

    Activité : Nombre dérivé

    L’objectif de cette activité est d’observer le coefficient directeur de la sécante (MM d’une courbe 1)quand M tend vers M, en différents points, et pour différentes fonctions de définir une nouvelle droite : 1

    la tangente, le coefficient directeur de cette droite : le nombre dérivé puis une nouvelle fonction : la

    fonction dérivée.

1. On considère la courbe représentative C d’une fonction f. Soient M le point de C d’abscisse x et Mle 1

    point de C d’abscisse x + h (avec h voisin de zéro). Déterminer le coefficient directeur a de cette droite

    dans le cas général. Que devient a quand h tend vers 0 ?

    Afin de répondre à cette dernière question, nous allons construire plusieurs figures à l’aide du logiciel Géoplanw.

2. Définir la fonction f à l’aide du menu déroulant suivant (On prendra pour commencer la fonction carrée

    et t pour variable muette).

     3. Créer la courbe représentative C à l’aide du menu ci-dessous.

4. Il faut créer le point M de coordonnées (x, f(x)) en utilisant les menus créer un réel libre x

Puis le calcul algébrique y = f(x)

Et enfin le menu point repéré dans le plan.

5. Il faut créer ensuite, en utilisant les mêmes commandes, h, réel libre, x = x+h, le calcul numérique, y = 11

    f(x1), le point M de coordonnées x et y et enfin la droite (MM). 1111

    6. On obtient donc à l’écran, une courbe et une droite. On veut lire les valeurs prises par x, h et le

    coefficient directeur de la droite (MM). Pour chacune de ces grandeurs, il faut créer un affichage dans 1

    le menu Créer, comme ci-dessous

    7.

En choisissant 6 décimales.

    8. Pour faire varier les valeurs de x ou h il faut sélectionner l’un ou l’autre dans le menu Piloter avec la

    commande Piloter au clavier. Pour choisir le pas (1 pour x et 0,1 pour h), il faut utiliser la commande

    modifier paramètres de pilotages au clavier.

    9. Pour la fonction carrée, fixer x = 0,5 et faire varier h de –0,5 à + 0,5. Qu’observe-t-on pour la droite

    (MM)? 1

    Reproduire et compléter les tableaux suivants :

h -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

    a

h -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,01 0,02 0,03 0,04 0,04

    a

Comparer avec la valeur lue pour h = 0. Que peut-on conjecturer ?

    fxhfx()();;On note le coefficient directeur de la tangente. Alimhh0

    10. Reproduire et compléter le tableau suivant :

    x -2 -1 -0,5 0 1 2 3

    A

    . Pour tout x, on associe un réel A, on définit ainsi une nouvelle fonction, appelée fonction dérivée, notéef'

    ; Déterminer en fonction de x. fx'()

    (Démontrer votre conjecture.)

    ; Comparer graphiquement le signe de et le sens de variation de f. fx'()

    ; Quelle hypothèse peut-on en tirer ?

    11. Mêmes questions pour la fonction inverse. (sauf pour x = 0) 12. Mêmes questions pour la fonction cube.

    13. Mêmes questions pour la fonction racine. (pour x > 0 ).

    ANNEXE 3 : INTRODUCTION DE LA DERIVATION

ACTIVITE 1 :

    Tracer un cercle de centre O. Soit M un point du cercle ; tracer la droite qui passe par M et qui est

    perpendiculaire à (OM).

    Comment s’appelle cette droite ?

    ACTIVITE 2 : 2Soit la fonction définie sur [0 ;3] par f(x)= x. La tracer dans un repère orthogonal d’unité 4 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.

     A(1 ; 1) et B(2 ;4) deux points de (P)

     1) Soit M le point de (P) d’abscisse 1+h (où h est un réel non nul). Placer sur le graphique les points h

    M; M; M; M. 0,50,2 0,1 -0,5

    Calculer le coefficient directeur m(h) de la droite (AM) et donner sa valeur lorsque h vaut : 0,5 ; 0,2 ; 0,1 ; -0,5. h

    Que dire de m(h) lorsque h se rapproche de 0 ?

    On appelle a la valeur limite de m(h) lorsque h se rapproche de 0. Que vaut a ? Tracer la droite passant par A et de coefficient directeur a. Comment nommer cette droite ?

    2) Reprendre la question 1 avec le point B.

    3) Etude générale :

    On considère le point M de (P) d’abscisse .

    Déterminer, le coefficient directeur de la tangente à la parabole en M.

    Déterminer l’équation de la tangente à (P) en M.

    ACTIVITE 3 :

    En physique, on est conduit à concevoir et à définir la vitesse instantanée d’un mobile en mouvement, c’est à

    dire la vitesse à un instant donné.

    Examinons la situation suivante : à l’instant 0, on lâche sans vitesse initiale une bille d’acier qui tombe en chute

    libre. La loi de chute des corps donne que la distance, en mètres, parcourue pendant le temps t, en secondes est : 2f(t) = 4.9 t.

    Comment peut-on être renseigné sur la valeur envisageable de la vitesse à l’instant 2 ?

Compléter le tableau suivant :

    h vitesse moyenne en m/s entre h vitesse moyenne en m/s entre les

    les instants 2 et 2+h instants 2 et 2+h

    1 -1

    0.5 - 0.5

    0.1 - 0.1

    0.01 - 0.01

    0.001 - 0.001

    0.0001 - 0.0001

    0.00001 - 0.00001

    0.000001 - 0.000001

    0.0000001 - 0.0000001

Que choisiriez-vous comme nombre donnant la vitesse instantanée en m/s à l’instant 2 ?

    Montrer que la vitesse moyenne, en m/s, entre les instants 2 et 2+h est égale à 19.6 +4.9 h

    Que se passe-t-il pour cette vitesse moyenne lorsque h est très proche, de plus en plus proche, ? infiniment proche ? de 0.

    Essayer de donner une définition de la vitesse instantané à l’instant 2 ?

    Essayer de donner, de façon plus générale, une définition de la vitesse instantanée à l’instant T et en donner la 0

    valeur .

    Séquence n?4

    Voici un texte du marquis de l’Hospital écrit en 1696.

    ? On demande qu’une ligne courbe puisse être considérée comme l’assemblage d’une infinité de lignes droites,

    chacune infiniment petite ; ou (ce qui est la même chose) comme un polygone d’un nombre infini de côtés,

    chacun infiniment petit, lesquels déterminent par les angles qu’ils font entre eux la courbure de la ligne ?

    Que veut dire le marquis de L’Hospital ?

    Quelle peut-être l’utilité de cette demande.

ANNEXE 4 :

     ACTIVITES D’APPROCHE DE LA DERIVEE

ACTIVITE 1 :

    Avec la calculatrice en calcul formel, remplir le tableau suivant :

    Fonction f Fonction dérivée de f (notée f’) 2x - 2x - 3 22 x - x -6

    3 x2 ;;x3x3

     1 x

    2 243616xx;; 2445xx;;

Pour chaque fonction f, faire tracer sur le même écran graphique les représentations graphiques de la fonction f

    et de la fonction dérivée de f. Reproduire l’allure, en notant en particulier les sommets et les intersections avec

    les axes.

    Faire un tableau de variation pour la fonction f.

    Trouver le lien qui semble exister entre la fonction f et la fonction dérivée f’.

SYNTHESE 1 :

Exercices : (ces exercices associent des courbes de fonctions et des courbes de fonctions dérivées )

    ACTIVITE 2 : 2 Construire sur papier millimétré la courbe de la fonction f définie par f(x) = x(unité axe des x : 3cm ; unité des y : 2 cm)

    On veut avoir un agrandissement de cette courbe autour du point 1. Pour cela choisir comme fenêtre graphique x = 0,9 x = 1.1 et les y correspondants. minmax

    Qu’obtient-on ? reporter sur le graphique cet agrandissement.

    Faire le même travail autour des points (-1 ; 1) et (2 ; 4).

    Les droites obtenues sont appelées tangentes aux points (1 ;1) ; (-1 ;1) ; (2 ;4) Quels sont leurs coefficients directeurs ? 2 Quel est le lien entre la fonction dérivée de f (x) = x ( qui est f (x) = 2x) ?

SYNTHESE 2 :

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