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Rappresentazione

By Clyde Ortiz,2014-12-20 00:00
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Rappresentazione

    I QUADERNI DELL’ I.T.I.S.

     QUADERNO N. 1

    Rappresentazione ed analisi dati

    nei corsi di laboratorio

    Prof. Gianpietro Cagnoli

     19/06/2008

I QUADERNI DELL’ I.T.I.S. G. Cagnoli

    Lista dei contenuti

    1. Introduzione

    2. Rappresentazione delle misure

    2.1. Cifre significative

    2.2. Unita’ di misura

    2.3. Equazioni dimensionali

    3. Gli errori

    3.1. Precisione ed accuratezza

    3.2. Errori assoluti e relativi

    3.3. Gli errori strumentali

    3.4. Stima della precisione: calcolo dell’errore assoluto

    3.5. Errori sistematici e casuali

    3.6. Propagazione degli errori

    4. Le tabelle

    5. I grafici

    5.1. Definizione degli assi cartesiani

    5.2. La rappresentazione dei punti

    6. Verifica dei modelli teorici

    6.1. Il concetto di verifica

    6.2. Il grafico discriminante

    6.3. La linearizzazione delle relazioni

    6.4. La determinazione delle incognite tramite il grafico

1. Introduzione

    Lo scopo di questo quaderno e’ di illustrare in un unico documento il bagaglio

    delle conoscenze da trasmettere agli alunni nei laboratori di Fisica, Chimica

    ed Elettronica, alla fine dei 5 anni di corso sia dell’ITIS che dello Scientifico Tecnologico.

    La temporizzazione viene lasciata ai vari dipartimenti che dovranno tener

    conto delle varie esigenze espresse dalle discipline di indizzo.

2. Rappresentazione delle misure

    Ogni misura diretta o derivata deve essere espressa mediante 3 elementi: il valore piu’ probabile, l’errore, l’unita’ di misura. Questi 3 elementi si

    combinano nel seguente modo:

     (1)

    dove il rettangolo rappresenta il valore piu’ probabile, il triangolo l’errore ed il

    cerchio l’unita’ di misura. La parentesi indica che l’unita’ di misura si applica

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    anche all’errore. Questa rappresentazione deve essere nota ed usata da tutti gli studenti una volta diplomati.

    2.1 Cifre significative

    La solita regola di approssimazione, comunque valida: inferiore a 5 per difetto; maggiore od uguale a 5 per eccesso; non risolve il problema del numero di cifre significative da usare nella scrittura di una misura, bensi’:

    Le cifre significative con le quali si presenta un risultato di una misura sono definite dall’errore associato a quella misura.

    Vediamo dei casi concreti.

    Nei capitoli successivi vedremo come dell’errore si conosce solo una stima, non il suo valore vero, quindi se da un certo calcolo otteniamo come errore il seguente valore: 47589, sapere che si e’ compiuto un errore di 9 unita’ o 8 decine perde completamente senso se paragonato con la parte piu’

    significativa del numero che sono 47 migliaia. Inoltre, se si approssimasse il precedente errore a 5 decine di migliaia, cioe’ utilizzando una sola cifra significativa, la stima dell’errore sarebbe comunque giusta.

    Quante cifre significative considerare per l’errore quindi?

    La regola del 30. Con la seguente regola l’arrotondamento della stima dell’errore non e’ piu’ grande del 20% dell’errore stimato. La ragione per cui si e’ scelto di adottare questa regola risiede proprio in questa ultimo dato e si e’ considerato il 20% come un errore di arrotondamento tollerabile. Se le due cifre piu’ significative dell’errore sono minori di 30, allora si usano due cifre significative, altrimenti una.

    Esempio 1: nel numero 47589 le due cifre piu’ significative sono 4 e 7; 47 e’ maggiore di 30 e quindi si usa una sola cifra significativa. L’errore si esprime quindi come 50000.

    Esempio 2: un certo calcolo porta al seguente valore 0.0285. Le due cifre piu’ significative sono 2 ed 8. 28 e’ minore di 30 e quindi due sono le cifre

    significative da usare. Quindi bisogna scrivere l’errore come 0.029.

    Con quanto esposto in precedenza, sappiamo come definire le cifre significative dell’errore. Per la misura vale quindi la seguente regola intuitiva: La cifra meno significativa della misura dovra’ essere della stessa potenza di

    quella dell’errore.

    Esempio 3: da un calcolo si ottengono i seguenti valori per la misura di una corrente: (2.34556 ? 0.0285) A. Prima si discute dell’errore che

    seguendo la regola del “30” risulta 0.029 A. Si nota come la cifra meno significativa dell’errore sono millesimi; quindi, anche la misura deve avere come cifra meno significativa i millesimi. La misura si scrive nel seguente modo:

    (2.346 ? 0.029) A

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    Se la misura fosse stata di 2.34 A allora bisognava aggiungere uno zero, e cioe’ (2.340 ? 0.029) A.

2.2 Unita’ di misura

    Le unita’ di misura riportate nelle tabelle o nei grafici vanno scritte tra parentesi quadre: [m], [s], [A], [V]; [?K]. In tutti gli altri casi, per esempio quando si riporta una singola misura, le unita’ di misura vengono scritte senza parentesi: es., (413 ? 8) ?K.

2.3 Equazioni dimensionali

    Le equazioni dimensionali sono un valido aiuto per verificare l’attendibilita’ di

    una relazione matematica tra grandezze fisiche. Come esempio verifichiamo che il campo elettrico E puo’ essere espresso mediante N/q oppure V/m.

    [E] = [V/s] = V/m = J/(Cm) = [F?s/(Q?s)] = [F/Q] = N/C Nella precedente espressione le parentesi quadre stanno ad indicare “l’unita’

    di misura di…”; cosi’ l’espressione [V] = V si “dice”: “l’unita’ di misura del

    potenziale elettrico e’ il Volt.”

    Un altro esempio: 1Hr = 1?s dove l’Henry e’ l’unita’ di misura dell’induttanza.

    VVV~tV~s,!,!,!HrL~s ,!I,!IAdI(

    )?,!tdt??

    Quindi, solo nelle equazioni dimensionali, la lettera dentro la parentesi

    quadra e’ il simbolo della grandezza fisica mentre la lettera fuori della parentesi e’ l’unita’ di misura.

3. Gli errori

    E’ impossibile conoscere mediante una misurazione il valore vero di qualsiasi

    grandezza fisica. Ogni misura e’ quindi una stima del valore vero ed il numero che associamo alla misura altro non e’ che il valore piu’ probabile o

    migliore stima del valore vero.

    La differenza tra valore vero della grandezza e la sua migliore stima e’ percio’ l’errore, e dato che il valore vero e’ incognito, anche dell’errore si puo’ dare

    solamente una stima.

3.1 Precisione ed accuratezza

    Il processo di misura di una grandezza fisica e’ molto simile al centrare un bersaglio con un fucile: la conoscenza del valore vero e’ impossibile quanto

    prendere il centro matematico del bersaglio e quello che possiamo fare e’ approssimarci il piu’ possibile al centro, ovvero, al valore vero della misura.

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    Il tentativo di colpire il centro puo’ essere affidato ad un evento unico oppure ad una serie ripetuta di eventi. In tal caso possiamo avere diversi casi di approssimazione, come illustrato nella figura seguente.

    Il primo tiratore produce una rosa di colpi rappresentata in A. Come si vede i colpi hanno una loro dispersione ed il loro centro immaginario non e’

    coincidente con il centro del bersaglio. Altri due tiratori si cimentano nella gara realizzando i centri rappresentati in B ed in C. Entrambi hanno un merito in piu’ del primo tiratore perche’ il secondo ha una dispersione minore del primo, ma il centro dei colpi e’ lontano dal centro del bersaglio; il terzo invece ottiene un centro dei colpi piu’ vicino al centro del bersaglio ma la dispersione e’ la stessa di quella del primo tiratore.

    Rispetto ad A, B e’ piu’ preciso mentre C e’ piu’ accurato.

    Il quarto tiratore che ottiene il risultato D risulta essere sia piu’ accurato che piu’ preciso del primo tiratore.

    Misura accurata. Una misura e’ tanto piu’ accurata quanto piu’ si avvicina al

    valore vero della grandezza fisica da misurare. Nel caso di misure ripetute per “misura” si intende la media dei valori ottenuti.

    Misura precisa. Una misura e’ tanto piu’ precisa quanto piu’ la dispersione

    dei valori di misure successive e’ piccola. Per una misura singola la precisione

    non puo’ quindi essere definita.

3.2 Errori assoluti e relativi

    L’errore assoluto e’ la semplice differenza tra il risultato della misura ed il valore vero della grandezza.

    Dalla definizione precedente discendono 3 conseguenze:

    1) l’errore assoluto “vero” non si conosce dato che il valore vero della

    grandezza e’ incognito; quindi, quello che possiamo sapere dell’errore

    assoluto e’ solo una stima;

    2) l’errore assoluto ha la stessa unita’ di misura della grandezza cui e’

    associata;

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    3) ad esso e’ associato un ? perche’ non e’ possible sapere se il valore vero

    e’ piu’ grande o piu’ piccolo della misura (altrimenti con un processo di

    limite saremmo in grado di stabilire il valore vero della grandezza) e

    quindi e’ un errore assoluto il triangolo che appare nell’espressione (1)

    essendo moltiplicato per la stessa unita’ di misura del rettangolo che

    rappresenta la migliore stima della grandezza misurata.

    L’errore relativo e’ l’errore assoluto espresso come frazione del valore misurato:

    erroreassolutoerrorerelativo (2) (Rvaloremisurato

    Risulta particolarmente utile per evitare confusioni l’uso dell’errore relativo percentuale:

    erroreassoluto (3) errorerelativopercentuale(%~100%Rvaloremisurato

    Da notare che l’ultimo % viene usato come simbolo che deve accompagnare il numero in modo tale che vedendo il numero subito ci si rende conto di essere alle prese con un errore relativo e non con uno assoluto.

    Esempio 1: sia data la seguente misura di temperatura, T=(327?2) ?K.

    L’errore relativo e’ 2/327 = 0.00612 ; quello percentuale 0.612%,

    quindi la misura si puo’ scrivere come:

    T=327 ?K ? 0.00612

    oppure

    T=327 ?K ? 0.612%

    Quest’ultima scrittura e’ da preferire perche’ il simbolo % fa subito

    capire la natura del numero 0.612.

    3.3 Gli errori strumentali

    Gli strumenti di misura sono dispositivi nei quali la grandezza da misurare produce un effetto ben quantificato e riproducibile su un’altra grandezza che

    risulta di facile misura.

    Gli strumenti introducono due tipi di errori: quello di precisione dello strumento e quello di lettura.

    L’errore di precisione e’ legato alla tecnica ed ai materiali con cui lo strumento e’ realizzato e puo’ essere dato in termini assoluti, come nel caso del calibro ventesimale dove il costruttore dello strumento garantisce che la misura di una lunghezza non si discosta dal suo valore vero per piu’ di

    0.05 mm qualunque sia la lunghezza misurata all’interno della portata;

    oppure, in termini relativi come nel caso degli strumenti elettromeccanici dei quali viene data la classe dello strumento. Il termine relativo non deve trarre

    in inganno: l’errore e’ relativo alla portata massima, non al valore della

    misura. Cosi’ anche per gli strumenti dotati di classe di precisione, una volta che la portata viene selezionata, l’errore e’ costante qualunque valore venga misurato, come per il calibro, ed e’ pari alla classe moltiplicata per la portata.

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    Ultimo dettaglio: prendendo come esempio sempre il calibro, l’errore di precisione deve essere preceduto sempre dal ? non potendo mai stabilire se l’errore sia per eccesso o per difetto.

    L’errore di lettura e’ legato alla precisione con la quale riusciamo a determinare la posizione dell’indice mobile dello strumento. Ogni strumento ha o deve avere l’errore di lettura inferiore all’errore di precisione dello strumento e qualora tale condizione non possa venire garantita aumentando il numero di divisioni della scala graduata, si puo’ sempre ricorrere alla

    tecnica del nonio. L’errore di lettura nelle scale graduate e’ sempre uguale a ? mezza tacca. Ovviamente e’ lasciato all’operatore conoscere il valore di ogni tacca in termini assoluti.

    Per gli strumenti digitali, il costruttore fornisce la classe dello strumento o il fattore che deve essere moltiplicato al valore di fondo scala scelto sullo strumento per ottenere l’incertezza della misura singola. Questo e’ l’errore di precisione dell’apparato; in aggiunta il costruttore indica quante unita’ della cifra meno significativa bisogna considerare come errore ulteriore dello strumento. In mancanza di tutti questi dati si assume come errore di lettura ? l’ultima cifra significativa. Nel caso degli strumenti digitali, essendo il numero prodotto legato al conteggio di impulsi, il costruttore dovra’ fare in

    modo di aumentare il numero degli stessi in modo tale da avere l’errore di lettura inferiore a quello di precisione dello strumento.

3.4 Stima della precisione: calcolo dell’errore assoluto.

    Ricordando che la precisione e’ legata alla dispersione delle misure, in questo capitolo parleremo di alcuni modi che si possono usare nella stima del grado di precisione di una misura. Anche se sembra una contraddizione in termini, partiamo proprio dalla precisione di una misura singola.

    Misura singola. Una misura singola non ha una dispersione di valori e per questo motivo sembrerebbe impossibile definirne la precisione. In realta’ una

    qualsiasi misura singola e’ ottenuta utilizzando uno strumento di misura che

    ha una certa variabilita’ dei parametri interni che determinano la risposta dello strumento. E’ il costruttore che comunica il grado di precisione dello strumento che produce e quindi l’errore assoluto associato alla misura e’

    quello di precisione dello strumento. E’ buona norma comunque assicurarsi

    che l’errore di lettura sia piu’ piccolo di quello di precisione fornito dal costruttore. Nel caso l’errore di lettura sia piu’ grande dell’errore di precisione

    allora l’errore che dovremmo associare alla misura sara’ quello di lettura, cioe’ il piu’ grande tra i due.

    Misure ripetute. Nel caso si voglia apprezzare la precisione del processo di misurazione e’ necessario compiere piu’ misure. La media delle misure sara’ la stima piu’ probabile del valore vero della grandezza in misura.

    Per la stima dell’errore si possono usare diversi parametri che hanno un grado di complessita’ diverso tra loro; sara’ quindi necessario scegliere il calcolo dell’errore a seconda del livello della classe e programmare l’uso di

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    tutti i parametri prima della conclusione del quinto anno. In ordine di difficolta’ crescente ecco i parametri usati per la stima dell’errore assoluto di una serie di misure.

    Intervallo. La stima della precisione, o dell’errore assoluto, e’ il massimo tra

    l’errore di precisione dello strumento e la semi-differenza massima

    dell’insieme di misure.

    Esempio 1: siano date le seguenti misure di lunghezza.

    (20.150.05)mm

     (20.250.05)mm

    (20.300.05)mm

    La media risulta 20.23333 mm mentre la semi-differenza massima

    0.075 mm. La misura si presenta allora come:

     (20.230.08)mm

    Esempio 2: siano date le seguenti misure di lunghezza.

    (20.150.05)mm

    (20.150.05)mm

    (20.200.05)mm

    La media risulta 20.16666 mm mentre la semi-differenza massima

    0.025 mm. La misura si presenta allora come:

     (20.170.05)mm

    perche’ in questo caso la semidifferenza massima e’ piu’ piccola

    dell’errore dello strumento.

    Deviazione standard. Le misure di una grandezza fisica hanno una loro distribuzione di probabilita’ attorno al valor medio. Sia il valor medio vero che

    la distribuzione di probabilita’ sono incognite allo sperimentatore il quale si trova ad operare una indagine statistica sull’insieme di tutte le misure

    possibili. Cosi’, un numero N di misure ripeture rappresenta solo un campione di tutta la popolazione e quelle N misure e’ l’unica informazione certa che lo sperimentatore possiede.

    La domanda allora e’: con queste N misure qual e’ la stima migliore che possiamo avere del valore vero della grandezza e della distribuzione delle misure?

    La media si dimostra essere la miglior approssimazione del valore vero della grandezza.

    L’ampiezza della distribuzione si quantifica invece con la deviazione standard

     che e’ definita nel seguente modo:

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    2(xx)?ii (4) N1

    dove e’ la media delle misure ed N il loro numero. La precedente x

    equazione non e’ calcolabile per N=1 proprio quando perde senso stimare l’ampiezza della distribuzione delle misure. Il valore della deviazione standard deve essere confrontato con l’errore di precisione dello strumento: solo se

    quest’ultimo e’ minore, la misura viene riportata nel seguente modo:

     (5) (x)u

    dove u e’ l’unita’ di misura della x; altrimenti si assume come errore l’incertezza data dallo strumento.

    Nel caso in cui la distribuzione delle misure segua la curva normale o

    Gaussiana, si puo dimostrare come la Deviazione Standard sia l’unico

    parametro che definisca completamente tutti i momenti statistici della

    distribuzione.

    Discernere se la distribuzione e’ Gaussiana o meno deve essere fatto

    sperimentalmente accumulando un numero di misure congruo alla costruzione di un istrogramma. Dato che questo lavoro si deve adattare al livello scolastico, possiamo dire che sara’ sufficiente verificare che la distribuzione sia a campana.

    Errore della media. La deviazione standard in qualche modo ci dice quanto ci dobbiamo aspettare lontane le misure dal loro valor medio. Se infatti la distribuzione e’ puramente Gaussiana allora il 68% delle misure cadra’

    all’interno dell’intervallo ampio 2 centrato sulla media, 95% nell’intervallo

    ampio 4, 99.7% nell’intervallo ampio 6. Se la distribuzione non e’

    Gaussiana queste probabilita’ non sono rispettate.

    In questa sezione si pone un’altra domanda: se una nuova serie di N misure viene ripetuta, quanto la nuova media sara’ simile alla prima? In altre parole, quanto e’ ampia la distribuzione delle medie?

    Per il teorema del limite centrale la distribuzione delle medie e’ sempre Gaussiana, indipendentemente dalla distribuzione delle misure singole, quindi basterebbe calcolare la deviazione standard per conoscere ogni dettaglio della distribuzione delle medie.

    Si dimostra che la miglior stima che possiamo avere della deviazione standard delle medie e’: m

     (6) mN

    In questo caso la misura viene riportata nel seguente modo:

     (7) (x)um

    xDove e’ la media delle misure della singola serie ed u la sua unita’ di misura.

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