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Commission Inter-Irem Premier cycle

By Mark Robinson,2014-08-29 10:06
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Commission Inter-Irem Premier cycle

    Commission Inter-Irem Premier cycle

    Synthèse du travail de la commission sur les projets

    de programmes de mathématiques du collège

Les objectifs généraux

    On ne peut qu'adhérer aux objectifs fixés en préambule : les sciences et la pratique de la démarche scientifique participent évidemment à une meilleure compréhension du monde. L'approche par la résolution de problèmes pour donner du sens aux apprentissages, mais aussi l'accent mis sur la nécessité de temps de synthèse nous semblent aussi aller dans le bon sens. Laisser leur place aux débats, aux échanges d'idées dans les classes lors de la recherche de problèmes participe à la formation à la démarche scientifique. Nous sommes donc en accord avec ces objectifs généraux, avec toutefois une réserve : pour les mettre en œuvre il faut du

    temps.

    Dans toute la suite les phrases en italiques sont extraites des projets de programme. Par ailleurs les formulations orales sont souvent une aide à la compréhension. Par exemple il est plus facile, pour un élève, de concevoir que 2x + 5x est égal à 7x ou que 2/3 +5/3 = 7/3 Il est vrai qu'oralement l’élève réussit en général les calculs de type 2x + 5x = 7x. La

    raison en est simple : la réussite à l'oral s'appuie sur des mécanismes de type deux choux plus cinq choux égal sept choux, problème que l'élève sait résoudre depuis longtemps, mais qui ne représente pas une avancée spectaculaire sur la route de la distributivité puisqu'elle n'intervient pas dans l'addition des choux. L'oralisation n'est pas ici une aide à la compréhension : c'est au contraire un obstacle à la compréhension puisque elle permet de réussir par effet Jourdain sans affronter la difficulté des écritures symboliques. Des aller-retour judicieux entre l'oral et l'écrit sont formateurs, mais les exemples choisis sont malheureux.

    Différents types d'écrits

    Nous sommes tout à fait d'accord avec la valorisation des différents types d'écrits. Dans cet esprit, il pourrait être fait référence aux Narrations de recherches.

    Il est essentiel, comme c’est indiqué plusieurs fois, de distinguer clairement la phase de

    recherche de la phase de rédaction. Il faudrait peut être en dire plus sur les différences entre ces deux phases en particulier en ce qui concerne les stratégies de recherche d’une démonstration (chaînage avant et arrière).

Point de vue global sur les contenus

    Ces projets de programmes sont la deuxième évolution des programmes de 1985. En effet un premier "toilettage" avait été réalisé en 1995. Les programmes de 1985 avaient une certaine cohérence. En géométrie, par exemple, ils s'appuyaient sur les transformations. La mise en œuvre de ces programmes (utiliser les transformations comme outil de preuve) s'est avérée Commission Inter-Irem Premier Cycle Le 22 mai 2004. 1

    d'une très grande difficulté pour les élèves, à tel point qu'on peut dire que les programmes de 1985 n'ont généralement pas été appliqués (en tout cas pour le point évoqué ci-dessus). La commande passée au groupe chargé de rédiger les projets de programme et les conditions, en particulier de temps, dans lesquelles il a travaillé ne lui permettait sans doute pas d'envisager des modifications importantes. Le constat fait en 1995 reste donc d'actualité pour ces projets : après un deuxième toilettage, on a des difficultés à identifier des lignes de forces. La refonte qui donnerait cohérence et lisibilité aux programmes reste donc à venir. On a un peu l’impression que cette partie résulte de la recherche d’un consensus entre deux positions contradictoires :

    - maintenir les transformations comme colonne vertébrale de la partie ? Géométrie ?. Ce qui a pour conséquence la logique des programmes de 95 : on étudie les propriétés des quadrilatères en fonction des propriétés des transformations qui permettent de prouver ces propriétés. Par exemple on étudie les propriétés des diagonales du parallélogramme, carré, ème seulement car c’est dans cette classe qu’on étudie la symétrie centrale. rectangle en 5

    - les objets géométriques deviennent la colonne vertébrale de la partie ? Géométrie ? : chaque année on étudie des objets et en particuliers les quadrilatères en abordant l’ensemble èmede leurs propriétés : par exemple en 6 on étudie le carré, rectangle, losange, cerf volant en ème5 le parallélogramme. Et sur ces objets on étudie ? tout ? : les propriétés des côtés, des diagonales, des angles, Dans ce dernier cas les transformations ? n’apportent ? pas les

    propriétés des quadrilatères.

    La comparaison des nouveaux programmes avec les programmes actuels nous amène à un autre constat : les volumes à traiter sont sensiblement identiques. Nous pensons que les programmes actuels du collège sont, pour un certain nombre d'élèves, une fiction : ces élèves ayant déjà connu des difficultés à l'école primaire et en début de collège se trouvent dans les dernières années du collège, et leurs enseignants avec eux, devant un mur lisse et résistant. La suppression des classes de quatrième ? aide et soutien ? et les projets de disparition des troisièmes d'insertion qui ne réalisaient pas de miracle mais permettaient, dans une certaine mesure, de mieux prendre en compte les compétences disponibles chez ces élèves, risquent d'aggraver les difficultés. Les projets de nouvelle troisième où seraient regroupés tous les élèves ne nous apparaissent pas comme une réponse adaptée à la grande difficulté. Pour les élèves en grandes difficultés, il est douteux que des stages en lycée professionnel ou en entreprise règlent leurs problèmes d'apprentissages quant ils retrouvent leurs camarades dans des classes indifférenciées.

    La question des horaires est également cruciale : quatre heures par semaine à tous les niveaux est un minimum. Même pour les élèves qui arrivent avec une maîtrise raisonnable des contenus des classes antérieures, la course désespérée pour faire rentrer dans un cadre horaire trop étroit des contenus qui demandent le temps de la réflexion pour prendre du sens, a un effet très néfaste.

    Un élément nous semble largement sous-estimé dans l'évaluation du temps nécessaire pour traiter les programmes. Traiter une question en sixième en tenant compte des connaissances et de la maturité des élèves, ce n'est pas traiter cette question en quatrième ou en troisième. Dans l'introduction de la partie 3.Géométrie de quatrième on trouve : Dans le plan, les travaux

    portent sur les figures usuelles déjà étudiées … pour lesquelles il est indispensable de

    continuer à faire fonctionner les résultats déjà mis en place. Cette phrase affirme

    implicitement qu'il s'agit simplement d'entretenir une compétence. Or ce point de vue nous semble faux. Par exemple, l'étude des quadrilatères en sixième est encore pour une large part consacrée à développer des compétences de tracé, de reconnaissance globale des objets (et c'est un travail indispensable). Entre ces compétences et la capacité à mobiliser les propriétés des quadrilatères dans une démonstration il y a encore un très grand pas à franchir (il serait Commission Inter-Irem Premier Cycle Le 22 mai 2004. 2

    certainement prématuré de s'y attaquer en sixième). Pour le franchir un travail bien plus lourd que le simple faire fonctionner une capacité déjà acquise est nécessaire. Ces compétences

    nouvelles ne figurent pas dans la colonne compétence des programmes de quatrième et troisième et pourtant elles participent pour une part importante aux poids de ces programmes. On peut préparer à ces nouvelles compétences à l'occasion de constructions, ou d'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique comme Cabri. Mais en fin de cinquième, le tour de la question n'est pas fait.

Programme de sixième

    Le programme de sixième est globalement écrit dans le souci de la continuité avec l'école primaire et d'un renforcement des acquis de celle-ci. De ce point de vue les références explicites aux programmes du cycle trois sont les bienvenues. Il doit aussi préparer aux apprentissages propres du collège. Nous lirons donc ce programme de ce double point de vue.

Dans l’introduction, il y a pour nous une ambiguïté concernant l’expression ? activités de

    synthèse ? : il nous semble que cela englobe deux choses qui ne devraient pas porter le même nom :

    - des phases d’institutionnalisation des connaissances

    - des problèmes qui font fonctionner des connaissances diverses afin, soit de les

    coordonner, soit de faciliter leur transfert.

1. Organisation et gestion de données. Fonctions :

    1.1 Proportionnalité

    Utiliser un coefficient de proportionnalité rationnel non décimal paraît bien ambitieux (dans la colonne compétences) alors que la multiplication de deux décimaux et la multiplication d'un décimal par une fraction sont à introduire en sixième. Les évaluations de début de sixième, quand elles comportent des questions relevant de la proportionnalité, montrent que dans des situations assez simples, une majorité d'élèves n'en a pas la maîtrise. Placer les élèves devant la double difficulté du travail sur la proportionnalité et de l'utilisation de nombres dans un usage que les élèves découvrent, nous semble cumuler les obstacles inutilement. Utiliser des coefficients décimaux sous forme décimale ou fractionnaire serait suffisant. Il nous semble

    qu'il faut d'abord passer du temps sur les différentes façons de multiplier par 3/10 ou 3/4 (ou d'autres valeurs décimales), valeurs pour lesquelles on peut faire des allers retours avec l'écriture décimale.

    Un exemple proposé qui illustre l'usage de coefficient rationnels non décimaux est d'ailleurs très instructif : le prix de 7m de tissu c'est 7/3 fois le prix de 3 m de tissu. C'est un exemple

    typique de faux concret. Si je vais acheter du tissu c'est le prix au mètre qui est affiché ! La question dans la réalité ne se posera jamais comme cela ! La question : "Par quel nombre multiplier 3 pour trouver 7" est une question intéressante qui peut faire l'objet d'une activité riche. Elle est porteuse de sens en elle même. Lui donner un habillage, même dans un très beau tissu…, risque fort de créer chez nos élèves le sentiment que les mathématiques sont artificielles et coupées du réel. Dans ce cas, il vaut mieux s'en tenir à la question mathématiques. L'utilisation d'un coefficient de proportionnalité rationnel non décimal comme 7/3 prend son sens, par exemple, dans le cadre numérique. La classe de cinquième ou Commission Inter-Irem Premier Cycle Le 22 mai 2004. 3

    l'on travaille sur les tableaux de proportionnalité nous semble le niveau adapté pour commencer ce travail.

    L'expression "fois plus" fait référence à la multiplication comme addition réitérée. La conserver en "en perdant le sens" est discutable (on aura encore des occasions de l'utiliser à bon escient).

    Il est question d'échelle dans les commentaires, or les échelles sont au programme de cinquième. Ne pourrait-on plutôt travailler, dans le prolongement de l'école primaire, agrandissements et réductions de figures, avec des coefficients simples, comme il en est question dans la partie 3.1 ( ce qui permet entre autres de diminuer en multipliant) ?

L’utilisation de la propriété additive de la linéarité apparaît seulement dans les commentaires ème, elle n’apparaît jamais dans les compétences (quel que soit le niveau). du programme de 6

1.2 Organisation et représentation de données

    Les deuxième et troisième paragraphes de la colonne exemples d'activités sont mal placés : le deuxième paragraphe devrait être à la suite de ? présente un double intérêt ? qui figure dans le troisième. De plus la phrase D'une part il permet un travail sur la proportionnalité, à partir des relations entre les distances entre deux repères et les écarts des nombres associés à ces repères nous a … dérouté. Que signifie distance entre deux repères ?

Les élèves doiventils construire des représentations graphiques (diagramme en bâton, ) ?

    Ce n'est pas indiqué explicitement et pourtant en bas de la page 5 on lit "Lire et compléter une graduation sur un axe, ). en haut de la page 6 on lit : Certaines représentations peuvent être

    obtenues avec l'ordinateur .

2. Nombres et calculs

    Il ne semble pas dans ce programme de sixième être question d'enchaînement d'opérations. (Le travail sur le sens des opérations semble alors se limiter au choix de la bonne opération)

    Sans faire d'inflation, pourquoi ne pas introduire dans le programme de sixième les deux points ci-dessous :

    D'une part :

    "Traduire par une expression numérique une suite d'opérations donnant la solution d'un problème". Pour ce faire, il n'est pas besoin d'avoir toutes les règles de priorités : un parenthésages judicieux est suffisant.

D'autre part :

    "Vérifier l'égalité entre deux expressions numériques." Ce travail est tout à fait possible en sixième. Il commencerait à donner au signe "=" un autre sens que celui de "déclencheur" du résultat d'une opération.

Avant d'aborder en cinquième des égalités comme 3(x 2) = 3x 6, il faut d'abord donner du

    sens aux expressions numériques et aux égalités entre ces expressions.

    Ces deux points pourraient être des objectifs raisonnables en sixième et ils prépareraient utilement la suite. Le calcul réfléchi est aussi un champ où ces notions peuvent être travaillées.

2.1 Nombres entiers et décimaux

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Donner une valeur approchée d'un décimal… au sens mathématique c’est toute valeur

    comprise dans un certain intervalle, ce n'est sans doute pas ce qui est visé. On dispose d'un terme précis : arrondi, il vaut mieux utiliser ce terme !

    La multiplication par ces puissances de dix peut être reliée à des problèmes d'échelles. Les échelles sont au programme de cinquième.

2.2 Division, quotient

    Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2 ; 4 ; 5.

    Ces trois critères ne concernent que le (ou les) dernier(s) chiffre(s) ce qui renforce un obstacle bien connu chez les élèves : ? Un nombre est divisible par 3 s’il se termine par 3 , 6

    ou 9 ?. Il serait souhaitable de travailler en même temps la divisibilité par 3 (et 9). Ce qui n'est pas interdit, mais le fait de ne pas le mettre en compétences, et donc de ne pas l'institutionnaliser, donne mécaniquement un poids plus important à ce qui est mémorisé et crée un obstacle un peu inutilement.

Multiplier un nombre entier ou décimal par un quotient sans effectuer la division.

    Cette formulation est curieuse, dans ce type de calcul il y a plusieurs divisions possibles laquelle est visée ? Peut-on traduire par :

    Ecrire sous forme fractionnaire le produit d'un décimal par le quotient de deux entiers Ou s'agit-il de :

    Voir et traiter un quotient comme un nombre

    Donner du sens à la multiplication par une fraction

    Montrer la nécessité des écritures fractionnaires

    Ce paragraphe mériterait plus ample développement

Ce travail de reconnaissance est étendu à des égalités telles que :5,24 / 2,1 = 524 / 210

    Abordet-on la division d'un décimal par un décimal ? Elle ne figure pas dans les compétences mais elle apparaît dans les commentaires. D'autre part, à quoi sert la simplification 5,24 / 2,1 = 524 / 210 si on n'aborde pas la division d'un nombre décimal par un nombre décimal ?

3.Géométrie

    3.1 Figures planes, médiatrice, bissectrice

    Pour le tracé d'une perpendiculaire, usage de la règle et de l'équerre puis du compas et de la règle (après le travail sur la médiatrice).

    Tracer des perpendiculaires au compas (en dehors du tracé spécifique de la médiatrice) quand on dispose dans son cartable d'une équerre semble très artificiel. On peut pronostiquer que cette méthode ne remportera pas un franc succès ! Qui parmi les "experts" l'utilise ? Nous proposons, soit de supprimer la phrase puis du compas et de la règle…, soit d'écrire

    "puis du compas et de la règle pour le tracé de la médiatrice"

En sixième deux droites parallèles sont caractérisées d'un triple point de vue :…., leur

    écartement est constant, …

    La conception des parallèles comme droites d’écartement constant doit-elle servir uniquement

    à reconnaître à vue d’œil que des droites sont ou ne sont pas parallèles ou les élèves doivent-

    ils savoir utiliser cette conception pour tracer des droites parallèles ? Dans ce dernier cas, il y a un apprentissage qui n’est pas élémentaire : c’est la mesure de l’écartement de deux droites

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ou de la distance d’un point à une droite qui est en jeu. On peut déboucher sur l'ensemble des

    points à égale distance d'une droite, jusqu'où aller ?

Deux droites perpendiculaires sont caractérisées par le fait qu'elles se coupent à angle droit

    Mais comment est défini l'angle droit ? Ne serait-il pas mieux de parler de quatre angles égaux , chacun de ces angles étant un angle droit ?

    Connaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour les quadrilatères : égalité de longueurs, perpendicularité, et

    Telles que ces compétences sont précisées : égalité de longueurs, perpendicularité, il semble

    que l'on ne considère pas comme une compétence de sixième la connaissance du parallélisme des côtés et le fait que les diagonales se coupent en leur milieu. Cette impression est confirmée par la phrase, dans la colonne commentaires : Pour les figures citées ci-contre leur

    construction à la règle et au compas est un objectif de la classe de sixième (dans la mesure

    où la construction ne fait pas intervenir le parallélisme). Même si le parallélogramme avec

    ses cotés parallèles et ses diagonales qui se coupent en leur milieu n'apparaît qu'en cinquième (et certains d'entre nous se demande si il ne pourrait pas apparaître dès la sixième) faut-il s'interdire d'évoquer ces propriétés, et de les utiliser pour le losange, le rectangle, le carré ? Pour le losange, par exemple, de nombreux élèves arrivant au collège, utilisent en acte les propriétés de ses diagonales pour le tracer. Il serait dommage de se priver de cet acquis. Quelques lignes plus bas, on tombe sur Certaines des propriétés ont déjà été étudiées à l'école

    primaire (…) d'autres sont nouvelles (notamment celles relatives aux angles autres que les angles droits et celles relatives aux diagonales). Si elles sont nouvelles c'est qu'il faut les

    étudier ? En bref il nous semble que cette partie relative aux quadrilatères doit être précisée. Cela nous semble d'autant plus nécessaire que des lecteurs expérimentés et de bonne foi apportant leur contribution à ce texte sont arrivés à des interprétations assez différentes de cette partie. On pourrait gagner en clarté en séparant les compétences attendues pour les triangles et celles attendues pour les quadrilatères. En effet, tout étant très condensé, quand on lit : Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire ces figures, propriétés renvoi, entre

    autre, à la présence d'axes de symétrie et au rectangle par exemple. Quand on trace un rectangle, on a rarement besoin d'utiliser ses axes de symétrie.

    …"cerf-volant"… . Soit le cerf-volant est (ou doit devenir) l'un des quadrilatères standards et il faut supprimer les guillemets, soit c'est un OGNI (Objet Géométrique Non Identifié) et il faut le faire disparaître. Mais nous comprenons la gêne des rédacteurs : le cerf-volant ne fait pas partie de la tradition de l'enseignement français (mais on le trouve dans d'autres pays et il figure maintenant dans le programme de l'école primaire avec des guillemets). Il nous semble que peu d'enseignants de collège ont eu l'occasion de travailler cet objet. Aussi est-il nécessaire que les rédacteurs des programmes précisent la définition qu'ils ont en vue. Par exemple s'intéresse-t-on aussi aux cerfs-volants concaves, c'est à dire aux "flèches" ? ou la définition est-elle plus restrictive ? Les rédacteurs ont sans doute des arguments pour introduire le cerf-volant. Il est souhaitable de les faire figurer en commentaires, sans quoi cette introduction risque fort d'apparaître comme une bizarrerie.

     ..en revanche la construction au compas d'un triangle quelconque à la règle et au compas relève de la classe de cinquième. Nous demandons la disparition de cette phrase En effet, à

    propos des triangles, il est dit dans le document d'application des programmes de cycle trois : un premier travail peut être conduit avec les élèves à ce sujet, par exemple en proposant les problèmes suivants : placer le plus rapidement possible le plus de points à une distance donnée d'un point donné, chercher à localiser des points dont les distances à deux points Commission Inter-Irem Premier Cycle Le 22 mai 2004. 6

    donnés sont connues. Proposer cette activité au cycle trois et attendre la cinquième pour en exploiter les résultats est incohérent.

    Pour les figures citées ci-contre leur construction à la règle et au compas est un objectif de sixième le tracé à la règle et au compas des triangles isocèles, triangles équilatéraux, triangles rectangles, rectangle, losange, cerf-volant, carré est donc un objectif ! Tracer un triangle rectangle à la règle et au compas nous semble être très artificiel quand on dispose d'une équerre (de même, par exemple, pour le rectangle).

    Nous proposons donc que la construction d'un triangle quelconque à la règle et au compas soit traitée en sixième (même si on laisse pour la cinquième le problème de l'existence d'un tel triangle).

    A minima, il pourrait y avoir :

    "Construction de triangles quelconques à partir de données sur des angles et des longueurs (sans systématisation )."

    Une question n'est pas du tout abordée dans le programme : les objets élémentaires, droite, point ... On devine pourquoi : il faut dissuader les enseignants de commencer la géométrie par La "leçon" là-dessus. Ce n'est pas une raison pour escamoter le problème. Les problèmes de construction sont l'occasion d'adopter de nouveaux points de vue sur les objets. Suivant les problèmes abordés, il peut être utile de "voir" un triangle comme trois points , trois segments, trois droites, une partie d'un plan, etc. En sixième, il faut que l'élève se construise une représentation du point comme intersection de deux droites, de droites et cercles, la droite comme trait prolongeable à volonté !

Dans cette optique le carré sera reconnu comme étant aussi un losange et un rectangle.

    Quand on présente à un élève un carré et qu'on lui demande si c'est un rectangle il répond en général non car un rectangle n'a pas ses côtés égaux. Cette réponse est cohérente avec ses apprentissages antérieurs et les questions qu'il a pu se poser à ce sujet : d'un certain point de vue, un carré n'est pas un rectangle. Quels problèmes amènent à faire le choix de dire qu'un carré est un rectangle (ou un losange) ? Les problèmes de démonstration où un rectangle ayant, par exemple deux côtés consécutifs égaux est un carré, ou les problèmes comme le rectangle d'aire maximale parmi des rectangles de périmètre fixé ou le carré apparaissant comme la solution au problème, il est cohérent de dire que c'est un rectangle particulier. Pour comprendre le choix effectué en mathématique, il faut avoir été confronté à des problèmes ou il se justifie et avoir suffisamment de recul pour comprendre que ces problèmes justifient ce choix. C'est donc une compétence de haut niveau. On peut toujours, sur le mode du dressage, faire répéter aux élèves les propriétés caractéristiques du rectangle puis celles du carré et tenter de mécaniser une réponse de type : le carré a toutes les propriétés du rectangle donc c'est un rectangle on n'empêchera pas des élèves de penser que le carré a certes toutes les propriétés du rectangle mais il en a en plus et donc que ce n'est pas un rectangle. L'argument

    ? en mathématique on ne raisonne pas comme cela ? n'est pas très satisfaisant dans une discipline ou l'on cherche à développer la pensée rationnelle. En sixième, le choix des élèves n'est pas plus arbitraire que le choix mathématique (dans le passé un rectangle pouvait être considéré comme un carré, on en trouve trace à Nîmes : la maison carré est rectangulaire et ce n'est pas une erreur, le rectangle était considéré comme un carré … allongé). Comparer les

    propriétés de différentes figures est une bonne activité, aller au delà est prématuré en sixième. Nous proposons donc la suppression de la phrase Dans cette optique le carré sera reconnu

    comme étant aussi un losange et un rectangle. Il sera temps de classifier les quadrilatères

    quand les élèves auront une expérience suffisante pour que cela prenne sens.

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3.3 Symétrie orthogonale par rapport à une droite

    Il est surprenant de ne voir aucune référence à la médiatrice dans le paragraphe symétrie axiale. Qu'y a-t-il à apprendre sur la symétrie axiale (après des années de pliage), certainement pas par exemple que des figures superposables par pliage ont les mêmes mesures, mais plutôt que tous les couples de points symétriques sont sur une perpendiculaire à l'axe et que cet axe est leur médiatrice commune.

4. Grandeurs et mesures

    4.1 Longueurs masses, durées.

    4.2 Angles

    A propos d'angles : rien sur angles et opérations ? On a l'occasion de diviser ou multiplier par deux avec la bissectrice, on peut étendre cela à quelques autres coefficients simples et faire quelques additions ou soustractions ? Cela participerait au travail sur le sens des opérations.

4.3 Aires

    Evaluer l'aire du triangle rectangle. Qu'entend-on par évaluer ? Calculer ne conviendrait-il

    pas mieux ?

Classe de 5ème

    2. Nombres et calculs

    Les nombres relatifs entiers et décimaux sont introduits ainsi que l'addition et la soustraction de tels nombres en liaison étroite avec la notion de droite graduée.

    La droite graduée joue un rôle important, mais, par exemple, pour introduire l’addition on peut aussi s'appuyer sur gains, pertes et bilan. Nous préférerions une formulation laissant la place à d'autres initiatives pédagogiques comme : "Les nombres relatifs entiers et décimaux sont introduits ainsi que l'addition et la soustraction de tels nombres. On peut s'appuyer pour cette introduction sur la notion de droite graduée."

    Le travail avec les calculatrices offre une occasion de dégager les priorités opératoires usuelles. D'accord pour un usage raisonné des calculatrices. Nous préférerions une formulation comme "La confrontation de calculs effectués à la main et avec la calculatrice offre une occasion de dégager les priorité opératoires usuelles". Les calculatrices actuelles ont les règles de priorités. Le simple fait de faire des calculs avec la calculatrice ne suffit pas pour dégager les règles de priorité. C’est plutôt le fait de faire des aller-retour entre calculs à la

    main et usage de la calculatrice qui peut le permettre

2.2 Nombres relatifs en écriture fractionnaire : sens et calculs

    L'égalité ac/bc = a/b fait l'objet d'une justification en s’appuyant sur des exemples

    numériques. Non ! Des exemples numériques ne peuvent pas être une justification ! Il faut formuler différemment cette phrase.

    Additionner et soustraire deux nombres en écriture fractionnaire … dans le cas ou le dénominateur de l'un est un multiple de l'autre. Cette restriction dans les compétences durant

    toute la cinquième nous semble créatrice de difficultés pour la suite des apprentissages. Il Commission Inter-Irem Premier Cycle Le 22 mai 2004. 8

    n'est pas suffisant de rencontrer quelques fois d'autres additions à l'occasion de problèmes que l'on va résoudre par des procédure contextualisées pour éviter cet écueil. Pour des dénominateurs raisonnables, l'addition ou la soustraction de deux fractions est accessible en cinquième. Nous y voyons en outre deux autres avantages : c'est l'occasion de renforcer la connaissance des tables et d'alléger un peu le programme de quatrième.

2.3 Nombres relatifs entiers et décimaux : sens et calcul.

    La notion de nombre relatif est introduite à partir d'un problème qui en montre la nécessité (par exemple pour rendre la soustraction toujours possible). Cette phrase pourrait être citée

    pour toutes les notions abordées dans ce programme. Pourquoi l’écrire en particulier pour cette notion pour laquelle justement il est très difficile de l’introduire à partir de problème !

    En effet, le problème qui consiste à rendre la soustraction toujours possible (c’est l’exemple donné) n’est pas forcément un problème dont on peut facilement assurer la dévolution aux élèves !

2.4 Initiation à la résolution d'équations.

    La classe de cinquième correspond à une étape importante dans l'acquisition du sens, avec la présentation d'égalités comme des assertions dont la vérité est à examiner. Nous sommes tout

    à fait d'accord pour travailler cette étape fondamentale avant la mise en œuvre d'algorithmes

    de résolution. L'exemple donné (3y = 4x + 1) comporte deux inconnues. Une seule ne

    suffirait-elle pas ?

3. Géométrie

    3.1 Figures planes

    Caractérisation angulaire du parallélisme.

    Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante.

    … les propriétés sont formulées dans les deux sens (direct et réciproque)

    En lisant la première phrase (les contenus) on pense qu’il faut que les élèves connaissent les réciproques des propriétés des angles alternes-internes et correspondants pour savoir prouver le parallélisme. En lisant la deuxième phrase (les compétences), on pense qu'il faut que les élèves connaissent les propriétés directes : dans une situation de parallélisme savoir en déduire des angles. Il y a donc une contradiction entre les contenus et les compétences qu'il faudrait lever (en lisant la troisième phrase il faut étudier les propriétés directes et les propriétés réciproques).

Tentons d'analyser les enjeux :

    - Soit on défini les angles alterne-internes et correspondants uniquement dans le cas où l'on a deux parallèles coupées par une sécante. Les problèmes traités sont alors des problèmes ou l'on cherche à déterminer des angles.

    - Soit on défini les angles alternes-internes et correspondants dans le cas où l'on a deux droites qui ne sont pas parallèles, coupées par une sécante et l'on peut alors énoncer des réciproques (Si les angles alternes-internes sont égaux alors les droites sont parallèles). Les problèmes traités visent alors à prouver le parallélisme ou à calculer des angles.

    Dans ce dernier choix, on est amené, par exemple, à reconnaître des angles alternes-internes sur la figure ci-dessous. Faites-le et imaginer la difficulté pour les élèves.

    Figure 1

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    On doit aussi définir ce que sont les angles alternes-internes ou correspondants dans le cas de droites non parallèles. L'exercice est très délicat. Aussi nous demandons aux rédacteurs des programmes de donner une définition écrite accessible à des élèves de cinquième si c'est leur choix.

    Comment s'en sortent les ouvrages qui font ce choix ? Les figures proposées ressemblent à celle-ci :

    Figure 2

    La difficulté visuelle est contournée en mettant des quasi-parallèles. Il n'y a pas de définition donnée, mais on introduit le vocabulaire en s'appuyant sur des codes (par exemple des couleurs).

    Compte-tenu de ce qui vient d'être dit, il nous semble préférable d'opter pour le premier choix et de ne pas travailler sur la caractérisation angulaire du parallélisme mais simplement sur la

    recherche d'angles quand on a le parallélisme (et c'est déjà très riche !).

Sur papier uni reproduire un angle au compas

    Est-ce vraiment utile ? Utilise-t-on cette construction dans la suite des études ? Si on le laisse, pourquoi le mettre dans cette partie et pas dans ? angle ? ?

4. Grandeurs

    4.3 Aire

    Le fait que chaque médiane d'un triangle le coupe en deux triangles de même aire. On parle

    de médiane mais elle n’est pas dans les compétences de cinquième ni dans celle des classes suivantes. Peut-être faut-il la mettre explicitement au programme de cinquième ? On pourrait mettre le commentaire : on peut introduire la médiane par la recherche d'une droite partageant un triangle en deux angles de même aire.

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