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Application de Hodge-Tate duale d'un groupe de Lubin-Tate, immeuble...

By Stanley Woods,2014-07-27 12:31
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Application de Hodge-Tate duale d'un groupe de Lubin-Tate, immeuble...

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     arXiv:math/0604252v1 [math.NT] 11 Apr 2006

     APPLICATION DE HODGE-TATE DUALE D??UN GROUPE DE LUBIN-TATE, IMMEUBLE DE BRUHAT-TITS DU GROUPE ?ä LINEAIRE ET FILTRATIONS DE RAMIFICATION par Laurent Fargues

     R?äsum?ä. ?ª L??un des buts de cet article est de d?äcrire l??isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate e e e ?Á ?Á et de Drinfeld au niveau de leurs squelettes apr`s quotient par GLn (OF )?ÁOD ou bien I ?ÁOD o` OD e u 1 est l??ordre maximal dans l??alg`bre a division d??invariant n sur F et I un sous-groupe d??Iwahori de e ` GLn . Nous donnons des applications a l???ätude des sous-groupes canoniques sur les espaces de Lubin` e Tate, la description des orbites de Hecke sph?äriques dans ces espaces, les domaines fondamentaux e pour les correspondances de Hecke et l??application des p?äriodes de Gross-Hopkins. Nous-y ?ätudions e e ?ägalement en d?ätail les ?ltrations de rami?cation (inf?ärieure et sup?ärieure) et l??application de Hodgee e e e Tate d??un groupe formel p-divisible de dimension un. Abstract. ?ª One of the goals of this article is to describe the isomorphism between Lubin-Tate ?Á and Drinfeld towers at the level of their skeletons after taking quotient by GLn (OF ) ?Á OD or ?Á 1 I ?Á OD where OD is the maximal order in the division algebra with invariant n over F and I a Iwahori subgroup of GLn . We give applications to the theory of canonical subgroups on Lubin-Tate spaces, the description of spherical Hecke orbits in those spaces, fundamental domains for Hecke correspondences and the Gross-Hopkins period mapping. We also study in details the rami?cation ?ltrations (upper and lower) and the Hodge-Tate map of a one dimensional formal p-divisible group.

     Introduction L??un des buts de cet article est de d?äcrire l??isomorphisme entre les squelettes des tours de Lubine ?Á ?Á Tate et de Drinfeld apr`s quotient par GLn (OF ) ?Á OD ou bien I ?Á OD o` OD est l??ordre maximal e u 1 dans l??alg`bre ` division d??invariant n et I un sous-groupe d??Iwahori de GLn . e a L??isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld au niveau des points ([7]) est un isomorphisme GLn (F ) ?Á D?Á -?äquivariant en niveau in?ni e LT?Þ LT?Þ /GLn (OF ) = ?n?1 B

     ??

     / Dr ?Þ ?Á Dr ?Þ /OD = ?

     2

     LAURENT FARGUES

     qui induit un hom?äomorphisme des espaces de Berkovich associ?äs e e

     ?Á Par passage au quotient par GLn (OF ) ?Á OD il devrait donc induire une application ?Á OD \|?n?1 | ??ú GLn (F )\|?| B

     |LT?Þ | ??ú |Dr ?Þ | ?

     ??

     On va d?äcrire cette application au niveau des squelettes de ces deux espaces. e Plut?t que de tenter de d?äcrire le r?äsultat g?än?äral explicitons ce que cela signi?e sur la ?gure 1 o e e e e ?Á dans le cas de GL2 pour le quotient par GL2 (Zp ) ?Á OD : ?C L??espace de Lubin-Tate sans niveau (la tour de Lubin-Tate quotient?äe par GL2 (Zp )) est e ? une boule ouverte p-adique au sens de Berkovich B1 . Dans ce cas l` appelons squelette de a ? B1 un rayon de cette boule ]0, +?Þ]. Il y a une r?ätraction (la ?`che verticale de gauche) e e ? |B1 | ??ú]0, +?Þ] donn?äe par la valuation de la coordonn?äe dans la boule. e e ?Á ?C L??espace de Drinfeld sans niveau (la tour de Drinfeld apr`s quotient par OD ) est l??espace ? e de Drinfeld ayant pour Cp -points Cp \ Qp . Son squelette est l??arbre de Bruhat-Tits I de GL2 . Il y a une r?ätraction (la ?`che verticale de droite) |?| ??ú I qui apr`s quotient par GL2 (Zp ) e e e fournit une r?ätraction GL2 (Zp )\|?| ??ú GL2 (Zp )\I. e ?C Si D d?äsigne une demi-droite simpliciale d??origine la classe du r?äseau Z2 dans l??arbre I alors e e p ?? D est un domaine fondamental pour l??action de GL2 (Zp ) sur I et D ??ú GL2 (Zp )\I. ? ?C L??isomorphisme entre les deux tours induit une application ]0, +?Þ] ??ú D ?C On peut d?äcrire compl`tement la structure simpliciale sur ]0, +?Þ] d?äduite de celle sur D par e e e l??application pr?äc?ädente. e e ?C Apr`s quotient par une ??petite?? partie de ]0, +?Þ] l??application induit un isomorphisme (?`che e e du bas). Le r?äsultat est du m?me type pour GLn , bien qu??un peu plus compliqu?ä ` ?änoncer. e e eae

     GL2 (Z p )

     x

     v(x)

     q q+1 + 1 q+1 1 q(q+1) 1 q2(q+1) 8 0

     GL2 (Z p )

     isomorphisme

     Figure 1. Le cas de GL2

     Ind?äpendamment de l??isomorphisme entre les deux tours la structure simpliciale que nous exe plicitons sur l??espace de Lubin-Tate a de nombreuses applications comme l???ätude des sous-groupes e canoniques, la d?ätermination de domaines fondamentaux pour les correspondances de Hecke et e l???ätude du morphisme des p?äriodes. e e L??un des autres buts de cet article est d???ätudier en d?ätails la ?ltration donn?äe par la valuation des e e e points de torsion sur un groupe formel p-divisible de dimension un. D?äcrivons succinctement le contenu de chacune des parties de l??article : e

     ?ä APPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE

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     ?C Dans le premier chapitre nous donnons une formule pour la valuation p-adique des p?äriodes e de Hodge-Tate du dual de Cartier d??un groupe p-divisible formel sur un anneau de valuation (pas forc?äment discr`te) pour une valuation de hauteur 1. En fait, nous consid?ärons plus e e e g?än?äralement le cas d??un O-module formel ?Ð-divisible o` O est l??anneau des entiers d??une e e u extension de degr?ä ?ni de Qp . Dans ce cas la bonne notion de dualit?ä rempla?ant la dualit?ä e e c e de Cartier est celle d?ä?nie par Faltings ([4]). Le lecteur ne connaissant pas la th?äorie de [4] e e pourra supposer O = Zp . ?C Dans le second chapitre on ?ätudie la ?ltration donn?äe par la valuation sur les points de e e torsion d??un group formel ?Ð-divisible de dimension 1. Cette ?ltration fournit une famille de r?äseaux dans le module de Tate rationnel Vp . L??image dans l??immeuble de PGL(Vp ) de cet e ensemble est un ensemble ?ni de sommets. De plus les ?äl?äments de valuation su?samment ee petite d?äcrivent un simplexe S de cet immeuble. L??un des principaux r?äsultats est que cet e e ensemble est contenu dans un appartement et peut ?tre reconstruit g?äom?ätriquement dans e e e l??immeuble ` partir du simplexe S et du sommet donn?ä par le r?äseau Tp ? Vp . a e e Nous donnons ?ägalement une description combinatoire du simplexe S ` partir du polygone e a de Newton de la multiplication par ?Ð sur une loi de groupe formel associ?äe. e ?C Le troisi`me chapitre est inspir?ä par les travaux d??Abbes-Saito et Abbes-Mokrane ([1]). La e e ?ltration sur les points de torsion ?ätudi?äe dans le deuxi`me chapitre se comporte bien par e e e restriction ` un sous-groupe : si H est un groupe formel p-divisible de dimension 1 et G2 ? a G1 ? H des sous-groupes plats ?nis alors ??Ë {x ?Ê G1 | v(x) ?Ý ?Ë}?ÉG2 = {x ?Ê G2 | v(x) ?Ý ?Ë}. Par contre cette ?ltration dite de ??rami?cation inf?ärieure?? ne se comporte pas bien par e isog?änies. C??est le cas de la ?ltration d?ä?nie en toute g?än?äralit?äs dans [1]. Dans le cas que nous e e e e e ?ätudions des sous-groupes plats ?nis d??un groupe formel p-divisible de dimension 1 l??alg`bre e e de ces groupes est monog`ne et la ?ltration de rami?cation sup?ärieure de [1] est obtenue e e par r?äindexation de la ?ltration de rami?cation inf?ärieure via une fonction de Herbrand. e e Cela est expliqu?ä dans l??appendice B. La terminologie ??inf?ärieure/sup?ärieur?? provient par e e e analogie avec la th?äorie des groupes de rami?cation des groupes de Galois des corps locaux : e les groupes de rami?cation inf?ärieure se comportent bien par restriction ` un sous-groupe de e a Galois tandis que ceux de rami?cation sup?ärieure se comportent bien vis ` vis d??un quotient. e a Nous ?ätudions cette ?ltration de rami?cation sup?ärieure ainsi que son image dans l??ime e meuble de la m?me fa?on que dans le chapitre deux.

    e c ?C Dans le quatri`me chapitre on ?ätudie le point de la r?äalisation g?äom?ätrique de l??immeuble e e e e e d?ä?ni par l??application de Hodge-Tate du dual d??un O-module formel ?Ð-divisible de dimension e un. Ce point est la classe d???äquivalence de la norme sur le module de Tate rationnel donn?äe e e par la valuation de l??application de Hodge-Tate ?ätudi?äe dans le premier chapitre. On donne e e des formules int?ägrales pour cette norme en fonction des ?ltrations ?ätudi?äes aux chapitres 2 e e e et 3. Cette formule est particuli`rement simple lorsque formul?äe en termes de la ?ltration de e e rami?cation sup?ärieure (proposition 4.10). e L??un des principaux corollaires de ces formules est que ce point dans l??immeuble est contenu dans la r?äalisation g?äom?ätrique |S| du simplexe S d?ä?ni au chapitre 2. e e e e ?C Dans le chapitre 5 on d?ä?nit et ?ätudie une structure simpliciale sur le squelette de l??espace de e e Lubin-Tate sans niveau. Le bon objet n??est pas en fait ce squelette mais plut?t un quotient de o celui-ci, l??espace des polygones de Newton. On d?äcrit compl`tement une structure simpliciale e e sur cet espace des polygones de Newton ainsi que l??action de certains op?ärateurs de Hecke e sur cet espace simplicial. La d?ä?nition de cette structure simpliciale est inspir?äe des r?äsultats des chapitres 2 et 4. e e e ?C Dans le chapitre 6 on montre que la bijection entre les points des tours de Lubin-Tate et de Drinfeld induit un isomorphisme entre l??espace des polygones de Newton muni de la structure simpliciale d?ä?nie au chapitre 5 et le quotient de l??immeuble de PGLn par un sous-groupe e compact maximal. ?C Le chapitre 7 est consacr?ä aux applications de la structure simpliciale sur l??espace des polye gones de Newton et de l??action des op?ärateurs de Hecke sur celle-ci. Certains raisonnements e sur l??espace de Lubin-Tate s??interpr`tent naturellement sur un appartement de l??immeuble. e

     4

     LAURENT FARGUES

     Par exemple on d?ämontre que l??existence de sous-groupes canoniques en un sens g?än?äralis?ä e e e e est ?äquivalent ` ce que le point dans l??immeuble soit contenu dans un certain demie a appartement. Cela d?ämontre par un simple raisonnement g?äom?ätrique que le ??bord?? de e e e l??espace de Lubin-Tate est recouvert par des ouverts admissibles sur lesquels il ya des sous-groupes canoniques puisque c??est le cas dans l??immeuble. L??application quotient par un sous-groupe canonique se comprend ?ägalement tr`s facilement sur l??immeuble, de m?me que e e e l??action des correspondances de Hecke. Coupl?ä aux r?äsultats des chapitres pr?äc?ädents cela donne une condition n?äcessaire et su?e e e e e isante pour l??existence de sous-groupes canoniques g?än?äralis?äs en termes de l??application de e e e Hodge-Tate du groupe p-divisible formel de dimension 1, comme

    dans [1]. On g?än?äralise ?ägalement le domaine fondamental de Gross-Hopkins gr?ce ` cette ?ätude e e e a a e sur l??immeuble : n??importe quel domaine fondamental poly`dral dans le simplexe standard e Convexe(e0 , . . . , en ) ? Rn+1 sous l??action du groupe des rotations engendr?äes par e0 ?ú e e1 , e1 ?ú e2 , . . . , en ?ú e0 fournit un domaine fondamental pour l??action des correspondances de Hecke dans l??espace de Lubin-Tate. ?C Dans le chapitre 8 on g?än?äralise les r?äsultats pr?äc?ädents au cas de l??espace de Lubin-Tate avec e e e e e structure de niveau Iwahori. Dans ce cas l` l??espace est une couronne p-adique g?än?äralis?äe et a e e e son squelette un simplexe ??ouvert??. On d?ä?nit et ?ätudie alors comme auparavant une structure e e simpliciale sur ce simplexe et montre que via l??isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld ce simplexe ouvert est isomorphe au quotient de l??immeuble par un sousgroupe d??Iwahori. En?n on peut comprendre facilement gr?ce ` cette ?ätude le morphisme de a a e l??espace de Lubin-Tate avec niveau Iwahori vers celui sans niveau au niveau des squelettes. Ce chapitre ne contient aucune d?ämonstration, les d?ämonstrations ?ätant semblables ` celles e e e a du cas de l??espace de Lubin-Tate sans niveau elles sont laiss?äes au lecteur. e ?C En?n l??appendice A contient des rappels sur l??immeuble de Bruhat-Tits de PGLn . Cet article est ind?äpendant de [5] et [6]. Seule la compr?ähension d??une partie de [7] peut ?tre e e e utile. En?n, certains des aspects de cet article apparaissent d?äja dans les travaux de Yu [12]. Cet e article peut donc ?tre en quelques sortes consid?är?ä comme une suite de [12], suite qui permet de e e e comprendre pourquoi les calculs e?ectu?äs dans [12] font appra? l??appartement d??un immeuble e ?tre de Bruhat-Tits. Remerciements : L??auteur tient a remercier Alain Genestier et Vincent La?orgue pour de nom` breuses discussions sur le sujet. C??est en particulier Alain Genestier qui a sugg?är?ä d??introduire le e e simplexe de la d?ä?nition 2.5, simplexe qui a sugg?är?ä a l??auteur d???ätudier plus en d?ätails les ?ltrae e e` e e tions de rami?cation. Ils ont ?ägalement sugg?är?ä a l??auteur l???ätude du cas Iwahori faite au chapitre e e e` e 8.

     1. Une formule pour la valuation p-adique de l??application de Hodge-Tate du dual d??un groupe de Lubin-Tate Soit F |Qp une extension de degr?ä ?ni et O = OF son anneau des entiers. Soit K|F un corps e valu?ä complet pour une valuation v ` valeurs dans R ?ätendant celle de F . Soit H un O-module e a e formel de dimension 1 et de hauteur ?nie n sur OK . Supposons d??abord que O = Zp . Le but de cette section est de donner une formule pour l??application compos?äe e ?H? Tp (H D ) ? ? ?ú ?ØH ? O

    

     D

     K

     O

     K

     R+ ?È {?Þ} ?ú

     v

     ?ä APPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE

     5

     D o` ?ÁH D est l??application de Hodge-Tate de H D : si x ?Ê Tp (H D ), x : Qp /Zp ??ú HO et xD : u K HO ??ú ?Ìp?Þ /O alors

     K K

     dT T Pour O plus g?än?äral que Zp nous donnons une formule pour la compos?äe e e e ?ÁH D (x) = (xD )? Tp (H ?Å ) ? ? ?ú ?ØH ? O ?H?

     ?ÁO ?Å K

     O

     K

     R+ ?È {?Þ} ?ú

     v

     ?ÁO ?Å (x) = (x?Å )? ? apr`s choix d??un g?än?ärateur ? de ?ØLT . e e e H

     o` H ?Å est le dual strict au sens de Faltings ([4]). Si LT d?äsigne un groupe de Lubin-Tate de u e e O-hauteur 1 alors ` x ?Ê Tp (H ?Å ) est associ?ä un morphisme x?Å : HO ??ú LT/O qui d?ä?nit donc a e

     K K

     Il est clair que pour le probl`me auquel on s??int?äresse on peut supposer que K = K, ce que e e nous ferons dans la suite. 1.1. P?äriodes de Hodge-Tate de certains sch?ämas en groupes de type (p, . . . , p). ?ª e e 1.1.1. Le cas O = Zp . ?ª Soit G un sch?äma en groupes ?ni localement libre d??ordre p sur une e base a?ne Spec(R) au dessus de Spec(Zp ). D??apr`s [11] ou plus g?än?äralement [9] il existe alors e e e ?Ã, ?Ä ?Ê R tels que ?Ã?Ä = w o` w ?Ê Zp est une constante universelle de valuation p-adique 1 tels que u G ? GD Alors, ?ØG ?ØGD et ?ÁGD : GD u ??ú ?ØG ??ú (u mod ?Ä).dT ? R/?ÄR.dT ? R/?ÃR.dU ? Spec(R[T ]/(T p ? ?ÄT )) Spec(R[U ]/(U p ? ?ÃU ))

     Si R = OK avec K comme pr?äc?ädemment alors v(?Ã) + v(?Ä) = 1 et e e ?u ?Ê GD (OK ) v(u) = v(?Ã) p?1

     et donc on conna? le sous-module OK .Im ?ÁGD de ?ØGD d`s que l??on connait v(Ann ?ØG ) = v(?Ä) ou ?t e bien v(Ann ?ØGD ) = v(?Ã). 1.1.2. Le cas O g?än?äral. ?ª Soit ?Ð une uniformisante de O et q = pr le cardinal de son corps e e r?äsiduel. On note v la valuation normalis?äe de F . e e Soit R une O-alg`bre. Soit G un sch?äma en groupes ?ni et localement libre sur Spec(R). e e Supposons le muni d??une action de O/?ÐO et de type (p, . . . , p) relativement ` cette action. L??anneau a R ?ätant une O-alg`bre il y a un caract`re e e e ? ? ??ú ?Ö : (O/?ÐO)?Á ? ? ? ? O?Á ??ú R?Á Alors, d??apr`s [9] il existe (?Ãi , ?Äi )i?ÊZ/rZ ?Ê RZ/rZ tels que ?Ãi ?Äi = w ?Ê Zp est de valuation p-adique e 1, localement

    sur Spec(R) G ? Spec(A) avec A = R[Ti ]i?ÊZ/rZ /(Tip ? ?Äi Ti+1 ) et l??action de (O/?ÐO)?Á sur A induite par l??action de O/?ÐO sur G se fasse sur Ti ` travers le a pi caract`re ?Ö . On a alors e ?ØG ?

     i?ÊZ/rZ Teichm?? ller u

     R/?Äi?1 R.dTi

     6

     LAURENT FARGUES

     Supposons maintenant de plus que l??action de O sur ?ØG soit l??action naturelle induite par la structure de O-alg`bre de R. Alors, e ?i = r ? 1 ?Äi ?Ê R?Á et donc, si

     p ?Ä = ?Ä0

     r?1

     p ?Ä1

     r?2

     p . . . ?Är?2 ?Är?1

     on a A ? R[T ]/(T q ? ?ÄT ) Le complexe de co-Lie de G s??identi?e alors ` a lG ? [R ? ?ú R] ? Supposons maintenant que G est muni d??une action stricte de O au sens de [4] relevant l??action de O/?ÐO sur G. D??apr`s [4] l??ensemble de ces rel`vements est un torseur sous H ?1 (End(lG )) ? e e AnnR (?Ä). Supposons maintenant que R est sans p-torsion. Cela implique AnnR (?Ä) = (0). D??apr`s e ce qui pr?äc`de il existe donc une unique telle O-action stricte : c??est celle d?ä?nie dans le chapitre e e e 3 de [4] sur le groupe not?ä Gu,v . On a donc identi??ä G muni de son action stricte de O et d??apr`s e e e le chapitre 3 de [4] le dual strict d??un tel groupe est connu. Rappelons en e?et qu??alors il existe ?Ã ?Ê R tel que ?Ã?Ä = w?ä ?Ê O o` w?ä est une uniformisante de F et que le dual stricte s??identi?e ` u a G?Å ? Spec(R[U ]/(U q ? ?ÃU )) Soit LT un groupe formel de Lubin-Tate de O-hauteur 1. Alors, d??apr`s [4], pour un choix de e coordonn?äe formelle V sur LT l??accouplement e G ?Á G?Å ??ú LT [?Ð] est donn?äe par e V ??ú T ? U Soit alors ?ÁO?Å : G?Å ??ú ?ØG G l??application de Hodge-Tate relative ` O. Avec l??identi?cation a ?ØG ? R/?ÄR.dT cette application s??identi?e donc ` a u ??ú (u mod ?Ä).dT Lorsque R = OK avec K comme pr?äc?ädemment on en d?äduit que l??on conna? OK .Im?ÁO?Å d`s que e e e ?t e G l??on conna? v(Ann ?ØG ) = v(?Ä) ou bien v(Ann ?ØG?Å ) = v(?Ä). ?t 1.2. Calcul de la valuation p-adique de ?ÁO ?Å (x). ?ª H 1.2.1. Notations. ?ª Soit H un O-module ?Ð-divisible formel de dimension 1 et de O-hauteur n sur Spec(OK ). Supposons ?ägalement que sa ?bre sp?äciale est formelle. Nous allons calculer e e v(?ÁO ?Å (x)) pour x ?Ê Tp (H D ). Nous noterons H le groupe formel associ?ä sur Spf(OK ). Alors e H n H(OK ) = k?Ý1 H[?Ð ](OK ) ? H(OK ). Il y a une ??valuation?? v : H(OK ) ??ú R>0 qui d?ä?nit une ?ltration dite de rami?cation inf?ärieure sur H(OK ) et donc sur les points de e e torsion (cf. section 2). Cette ??valuation?? est d?ä?nie de la fa?on suivante : ?xons un

    isomorphisme e c de Spf(OK )-sch?ämas formels point?äs e e H ??ú Spf(OK [[T ]]) ? o` H est point?ä par sa section unit?ä et Spf(OK [[T ]]) par la section T = 0. Cet isomorphisme u e e induit une bijection H(OK ) ? {x ?Ê OK | v(x) > 0}. Si via cette bijection y ?Ê H(OK ) correspond a ` x ?Ê OK on pose alors v(y) = v(x). On v?äri?e aussit?t que cette d?ä?nition ne d?äpend pas de e o e e l??isomorphisme de sch?ämas formels point?äs choisi. e e

     ?? ?Á?Ä

     ?ä APPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE

     7

     On utilisera syst?ämatiquement le jeu entre la ?bre g?än?ärique et les mod`les entiers en ?äcrivant e e e e e pour G un groupe ?ni localement libre sur OK G(OK ) = G(K) et Tp (H) = lim H[?Ð k ](K) = lim H[?Ð k ](OK )

     ?û? k ?û? k

     ?ä Etant donn?ä que K est alg?äbriquement clos on consid?ärera toujours les ?bres g?än?äriques des e e e e e groupes ?nis sur OK comme des groupes abstraits. Soit G un groupe p-divisible sur Spec(OK ) et D un sous-groupe ?ni de la ?bre g?än?ärique de G. e e On notera Dadh l??adh?ärence sch?ämatique de D dans G[pk ] pour k >> 0 (et cela ne d?äpend pas de e e e k). Dans la suite il n??y aura jamais d??ambigu?? e pour un D donn?ä sur le groupe G dans lequel on ?t?ä e prend l??adh?ärence sch?ämatique, c??est pourquoi G n??intervient pas dans la notation. e e 1.2.2. Premiers calculs. ?ª Pour G un groupe ?ni localement libre muni d??une action stricte de O le morphisme de faisceaux fppf ?ÁO?Å : G?Å ??ú ?ØG est naturel en G, tout morphisme strict G f : G1 ??ú G2 induit un diagramme commutatif G?Å 2

     f?Å ?ÁO?Å G

     2

     / ?ØG2 / ?ØG1

     G?Å 1

     ?ÁO?Å G

     1

     En particulier ?k ?Ê N? l??inclusion H[?Ð k ] ??ú H[?Ð k+1 ] induit un diagramme commutatif de morphismes de sch?ämas en groupes e H ?Å [?Ð k+1 ] H [?Ð k ]

     ?Å ?ÁO ?Å [pk+1 ] H

     / ?ØH[?Ðk+1 ] o / ?ØH[?Ðk ] o

     ??

     ?ØH /?Ð k+1 ?ØH ?ØH /?Ð k ?ØH

     ?ÁO ?Å [pk ] H

     ??

     et un diagramme de morphismes de groupes Tp (H ?Å ) Tp (H )/?Ð k Tp (H ?Å )

     ?Å ?ÁO ?Å H

     / ?ØH / ?ØH /?Ð k ?ØH

     H[?Ð k ]?Å (OK )

     ?ÁO k ]?Å H[?Ð

     / ?ØH[?Ðk ]

     o` Tp (H ?Å ) est le groupe des (xk )k?Ý1 , xk ?Ê H[?Ð k ]?Å (K) = H[?Ð k ]?Å (OK ), ?Ðxk+1 = xk . Ainsi si u x = (xk )k?Ý1 pour calculer ?ÁO ?Å (x) il su?t de calculer ?ÁO k ]?Å (xk ) pour tout k qui s??identi?e ` a H H[?Ð ?ÁO ?Å (x) mod ?Ð k . H Soit donc x ?Ê Tp (H ?Å ) dont on veut calculer v(?ÁO D (x)). On peut supposer que x ?Ê ?ÐTp (H ?Å ) / H c??est ` dire que le morphisme associ?ä Tp (H) ??ú OF (1) est surjectif o` F (1) d?äsigne le caract`re a e u e e de Lubin-Tate. On fera donc cette hypoth`se. On constate que la valuation de ?ÁO D (x) ne d?äpend e e H que du sous-module engendr?ä O.x ? Tp (H ?Å ) qui est facteur direct dans Tp (H ?Å ). Via la dualit?ä e e parfaite Tp (H) ?Á Tp (H ?Å ) ??ú OF (1) de tels sous-modules correspondent aux sous-O-modules M ? Tp (H) facteur direct de rang n ? 1, ?Í M = (O.x) .

     8

     LAURENT FARGUES

     Cela reste valable modulo ?Ð k . Si x ?Ê H[?Ð k ]?Å (K) \ H[?Ð k?1 ]?Å (K), modulo une unit?ä ?ÁH[?Ðk ]?Å (x) e ne d?äpend que du sous-module engendr?ä C =< x > et de tels sous-modules sont en bijection avec e e les sous-modules C ?Í ? H[?Ð k ](K) facteurs directs de rang n ? 1 sur O/?Ð k O. Lemme 1.1. ?ª L??op?äration d??adh?ärence sch?ämatique commute a la dualit?ä de Cartier-Faltings : e e e ` e si C ? H[?Ð k ]?Å (K) est un sous-groupe alors C adh D?ämonstration. De la suite exacte e 0 ??ú C adh ??ú H[?Ð k ]?Å ??ú H[?Ð k ]?Å /C adh ??ú 0 on d?äduit d??apr`s le th?äor`me 8 de [4] la suite exacte e e e e 0 ??ú H[?Ð k ]?Å /C adh

     ?Å ?Å

     H[?Ð k ]/ C ?Í

     adh

     ?ú H[?Ð k ] ??ú C adh

    

     ?ú 0

     Le sous-groupe ?ni localement libre de gauche co?? ?ncide en ?bre g?än?ärique avec C ?Í . Il est donc e e ?Í adh ?ägal ` C e a . Proposition 1.2. ?ª Soit D ? H un sous-groupe ?ni localement libre sur OK . Alors ?ØD ? OK /?ÃOK o` u v(?Ë) v(?Ã) =

     ?Ë?ÊD\0

     Le complexe de co-Lie de D est isomorphe au complexe ? ?ú OK ? OK D?ämonstration. Avec un choix de bonnes ??coordonn?äes formelles?? (on entend par l` un isomore e a phisme de sch?ämas formels point?äs entre H et Spf(OK [[T ]])) ` la source et au but l??isog?änie de e e a e groupes formels H ??ú H/C s???äcrit T e (T ? x).

     x?ÊD\{0} ?Ã

     Remarque 1.3. ?ª Dans cette derni`re proposition l??assertion concernant la valuation de ?Ã est e l??analogue de la proposition 4 du chapitre IV de [10] reliant valuation de la di??ärente et les groupes e de rami?cations inf?ärieurs d??une extension de corps locaux. e Corollaire 1.4. ?ª Soient D1 ? D2 des groupes ?ni localement libres sur OK sous-groupes de H. Alors la suite 0 ??ú ?ØD2 /D1 ??ú ?ØD2 ??ú ?ØD1 ??ú 0 est exacte. D?ämonstration. D??apr`s la proposition pr?äc?ädente le groupe de cohomologie H ?1 du complexe e e e e de co-Lie de nos groupes est nul puisque OK est sans p-torsion. Soit donc maintenant C = O.y ? H[?Ð k ]?Å (K) facteur direct de rang 1 et notons C ?Í ? H[?Ð k ](K) son orthogonal. Consid?ärons le diagramme e C adh

     q1 ?Á1 =?ÁOadh C

     / ?Ø(C adh )?Å

     q2

     / ?ØH /?Ð k ?ØH

     C adh /C[?Ð k?1 ]adh L??isomorphisme C adh

    

     ?Á2

     / ?Ø(C adh /C[?Ðk?1 ]adh )?Å

     adh

     H[?Ð k ]/ C ?Í

     implique que si ?Ø(C adh )?Å ? OK /?ÃOK alors v(z)

     z?ÊC ?Í \{0}

     v(?Ã) = k ?

     ?ä APPLICATION DE HODGE-TATE ET IMMEUBLE DU GROUPE LINEAIRE

     9

     De m?me si ?Ø(C[?Ðk?1 ]adh )?Å ? OK /?Ã ?ä OK alors e v(?Ã ?ä ) = k ? 1 ?

     z?ÊC ?Í [?Ð k?1 ]\{0}

     v(z)

     Soit maintenant ?Ã ?ä?ä tel que ?Ø(C adh /C[?Ðk?1 ]adh )?Å ? OK /?Ã ?ä?ä OK . On d?äduit donc du corollaire 1.4 que e v(?Ã ?ä?ä ) = 1 ?

     z?ÊC ?Í \C ?Í [?Ð k?1 ]

     v(z)

     Nous allons maintenant utiliser les r?äsultats de la section 1.2. Le groupe C adh /C[?Ð k?1 ]adh est de e type (p, . . . , p) et sont dual strict v?äri?e les hypoth`ses de la section 1.2. Avec les notations du e e diagramme pr?äc?ädent, q1 (x) engendre les points ` valeurs dans K de ce groupe comme O/?ÐOe e a module. On en d?äduit que ?Á2 (q1 (x)) = ? mod ?à ?ä?ä OK o` e u v(?Â) = et donc, si v(?Â) < v(?Ã??) c??est ` dire si a v(z) < 1 ?

     z?ÊC ?Í \C ?Í [?Ð k?1 ] z?ÊC ?Í \C ?Í [?Ð k?1 ] v(z)

     q?1

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