DOC

Notion dharmoniques

By Katie Rogers,2014-11-26 16:15
12 views 0
Notion dharmoniques

     A Notion d'harmoniques.

    En électricité: Un analyseur de Fourier très simplifié.

A.I Quelques généralités:

A.I.1 Soit un système physique qui à une grandeur d’entrée fonction du temps e (t ) fait

    correspondre une grandeur de sortie fonction du temps s( t ). A quelle condition ce système peut-il

    être dit linéaire ?

A.I.2. On étudie expérimentalement le transfert de plusieurs systèmes ( système 1, système 2,

    système 3) à l’aide d’un analyseur de spectre numérique ; pour cela on applique à leur entrée le même signal e(t). On donne ci-dessous les spectres de Fourier du signal e(t) et ceux des signaux

    obtenus en sortie des trois systèmes.

    A.I.2.a. Qu’appelle-t-on spectre de Fourier d’un signal périodique s(t) ?

    A.I.2.b. Le système 1 est-il linéaire ? Quel est son rôle ? A.I.2.c. Qu’en est-il des systèmes 2 et 3 ?

     Amplitude Spectre de e(t) e(t) s(t) système

     12 3 4 5 f en kHz d. EAmplitudeAmplitudeAmplitude n s s ut

     ili

    s

    a nt 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 f en kHz f en kHz lef en kHz s Système 1: spectre de s(t) Système 2: spectre de s(t) Système 3: spectre de s(t) c o n diA.I.3 Impédance complexe. ti

    On utilise des dipôles linéaires en régime sinusoïdal. o

    n;;;;u(t)U2.cos~ti(t)I2.cos~tOn note la tension aux bornes du dipôle et uis l'intensité du courant qui traverse le dipôle, u(t) et i(t) seront définis en convention récepteur. a

    u;;x(t)X2.cosωtÀ chaque grandeur temporelle on associe le complexe suivant xx (j)?x;;jωtxli??, on peut aussi utiliser l’amplitude complexe X= X2ex(t)X2em itA.I.3.1. Que représentent les grandeurs U, ~ et ? Peut-on les mesurer et comment ? u e

    s, ZA.I.3.2.a. Etablir l’expression de l’impédance complexe associée à chacun des dipôles idéaux

    msuivant: o- résistance "pure" nt- capacité "pure" r- inductance "pure" e r q

    u

    e

    le

    s

    lo

    n

    A.I.3.2.b. On mesure pour un dipôle linéaire particulier: Z = A + j.B ; A = 1 k et B = 1 k.

    ;;u(t)102.cos~tCalculer i(t) si avec u(t) en volts.

    A.I.4 Théorème de Millmann.

     VA VVZ Z 1 2 12

    Calculer l’amplitude complexe V du potentiel A

    au nœud A dans le circuit I.4 en fonction des

    Z 31admittances Y et des amplitudes iZi

    complexes V des potentiels des extrémités i

    des branches. Circuit I.4 V3

A.II Filtre sélectif.

    On étudie le montage ci-contre:(circuit II)

    2R L’amplificateur opérationnel est idéal 1 C+-1(i = 0 et i = 0)

    et fonctionne en régime linéaire +-(V - V = 0) A B R - 1?

     C 1 + R 2e(t) s(t)

     Circuit II

A.II.1. Fonction de transfert.

    On impose à l’entrée une tension e(t) sinusoïdale de pulsation ~.

A.II.1.a. On définit le transfert en tension T(~)=s(t)/e(t). Montrer que le transfert en tension ne

    dépend pas du temps, et justifier que l’étude de l’évolution de T(~) en fonction de ~ permet de connaître le comportement en fréquence du circuit. A.II.1.b. Pourquoi étudie-t-on le transfert pour une tension sinusoïdale ?

    A.II.1.c. Établir le système d’équations vérifiées par V , V, S en fonction de E et des éléments du AB

    montage.

    1T(ω)A.II.1.d. Montrer que l’on peut mettre T(~) sous la forme avec (1)?1jRCω11)?RCωe1??

    2R.R12R eRR12

    1T(ω)A.II.1.e. Mettre T(~) sous la forme canonique et identifier Q et ~ en 0(ωω0)?1jQ)?ωω0??

    fonction de R, R et C. Calculer la valeur numérique de Q, ~ et f= ~/2. 12100 0

    A.II.1.f. Calculer les valeurs à donner à R, R et C pour avoir ~ = 36 kHz , le facteur de qualité 1210

    Q étant inchangé.

A.II.2. Etude du gain.

    T(~)T(~)On étudie ,

A.II.2.a. Montrer que T(~) passe par un maximum pour une valeur de ~ que l'on exprimera.

    A.II.2.b. Définir, puis calculer les pulsations de coupure à - 3 dB en fonction de ~ et Q. 0

    En déduire la bande passante B . ~

    A.II.2.c. Déduire de ce qui précède une interprétation possible du facteur de qualité Q. A.II.2.d. Calculer numériquement la bande passante en fréquence B (B= B/ 2). ff ~

    A.II.2.e. Tracer l’allure de T(~).

A.II.3 Etude pratique

    A.II.3.a. Représenter un montage expérimental qui permettrait de visualiser e(t) et s(t). On fera

    apparaître tous les appareils et connexions nécessaires.

    A.II.3.b. Décrire un protocole expérimental qui permettrait d'étudier le comportement en fréquence

    du circuit.

    A.II.3.c. L'A.O est alimentée avec une source (+15V, - 15V).

    A quoi sert cette alimentation ?

    Que se passerait-il si l'amplitude théorique de s(t) dépassait 15 V ? A.II.3.d. Que se passerait-il si on inversait les bornes + et de l'A.O. dans le circuit II ?

A.II.4. Analyseur de Fourier élémentaire.

    On met à l’entrée de ce circuit II le signal e(t) représenté ci-contre (figure II.4).

     e(t) avec f =1/T= 3,0 kHz et E = 10 V. E

     t T

     figure II.4

    On montre que l’on peut décomposer le signal e(t) en une combinaison linéaire de sinusoïdes sous

    E2E2E2E;;;;;;la forme : e(t)sin2π.f.tsin2π.3f.tsin2π.5f.t... 2π3π5π

A.II.4.a. Comment s’appellent les diverses fréquences qui apparaissent dans l’expression de e(t) ?

    A.II.4.b. Tracer l'allure du signal de sortie s(t) si le circuit II est réglé pour f = 3,0 kHz et Q = 20. 0

    A.II.4.c. Comment pourrait-on utiliser le circuit II pour déterminer le spectre en fréquence de e(t) ?

En Musique.

A.III. Cordes vibrantes.

    On fixe une corde tendue de longueur L à ses deux extrémités. On l'écarte de sa position d'équilibre afin de la faire vibrer librement. (figure III)

    y

    M(x,y)

    y(x,t)

    O x x = L

    Figure III

    On note y(x,t) l'écart de la corde par rapport à sa position d'équilibre en un point M d'abscisse x.

    (x)?;;On étudie les ondes sinusoïdales de la forme: y(x,t)Asinωt.sinω, avec A une constante )?c??

    homogène à une longueur, ~ la pulsation (~=2f, où f est la fréquence ) et c la célérité des ondes sur cette corde.

    A.III.1. Etude de l'onde.

    A.III.1.a. Quel est le nom du type d’onde envisagé ? Qu’appelle-t-on nœud, ventre, lorsqu’on

    envisage une telle onde ?

    A.III.1.b. Quelle relation y-a-t'il entre c, la longueur d'onde de la vibration et la fréquence f d’une

    onde sinusoïdale ?

    A.III.1.c. On appelle mode fondamental, le mode tel qu’il n’y a que deux nœuds situés aux extrémités de la corde lorsqu'elle vibre.

    Exprimer successivement la longueur d’onde, puis la fréquence du mode fondamental. (On

    s’aidera d’un raisonnement graphique, et non d’un calcul).

    A.III.1.d. On définit l’harmonique de rang n comme le mode de vibration de la corde tel qu’il y ait (n+1) nœuds : les deux nœuds extrêmes, plus n-1 nœuds intermédiaires. Représenter

    successivement la corde à un instant t quelconque lorsqu’on excite ses harmoniques de rang n=2, 0

    puis n=3, puis n=4. Sur chaque graphique on fera apparaître la longueur d’onde.

    A.III.1.e. En se servant de l’étude précédente, calculer les longueurs d’onde puis les fréquences des différents harmoniques.

    A.III.1.f. Montrer que les ondes envisagées peuvent aussi être décomposées sous la forme

    ??((xx. Interpréter. )?)?y(x,t)A'sinωtB'sinωt????)?)?cc??????????

A.III.2. Guitare

    Dans une guitare "classique" la longueur L est fixée et on essaie d'avoir la même tension sur chaque corde.

    TcA.III.2.a. On montre que où T est la tension de la corde et µ sa masse linéique. µ

    Vérifier l'homogénéité de la formule.

    A.III.2.b. Expliquer pourquoi deux cordes émettent des notes différentes lorsqu'elles vibrent entre leurs extrémités.

    A.III.2.c. On veut changer de note sur une même corde, pour cela on pose ses doigts sur des barrettes afin de raccourcir la partie vibrante de la corde.

    pf122On veut produire des fréquences telles que (gamme chromatique) avec f fréquence 0f0

    fondamentale de la corde à vide et p entier positif non nul.

Sur la guitare la longueur d'une corde est L = 66,5 cm. Donner les positions x des 12 premières p

    barrettes.

A.IV Instrument à vent ou cavité résonante.

    (x)? la grandeur qui vibre dans un instrument à vent ou une cavité On note ;;z(x,t)Asinωt.sinω)?c??

    résonante.

A.IV.1. Quelle grandeur physique représente z(x,t) ?

    A.IV.2. On montre que pour une cavité résonante de longueur L, les conditions aux limites sont:

    dz(0 z(0,t) = 0 et . )?dt??x0

    Montrer à l’aide d’un raisonnement graphique similaire à celui effectué au III. que les longueurs d'onde de la vibration sont imposées dans cette cavité.

    A.IV.3. En prenant un ordre de grandeur raisonnable pour la célérité du son c dans l'air, calculer la longueur de la cavité résonante d'un diapason la , de fréquence f = 440 Hz. 30

    B Etude expérimentale d'oscillations mécaniques

B.I Quelques généralités

    B.I.1. Définissez successivement les termes : référentiel, repère, base de projection. B.I.2. Qu'est-ce qu'un référentiel galiléen ?

    B.I.3.a Qu’appelle-t-on référentiel terrestre local ? Est-il galiléen ? B.I.3.b. Pourquoi l’accélération de la pesanteur gvarie t-elle au niveau du sol entre les pôles et

    l'équateur ? Où est-elle la plus grande ?

    B.I.4. Qu'appelle-t-on un oscillateur ? Donner quelques exemples.

    B.I.5. Proposer un protocole expérimental permettant de mesurer la constante de raideur d'un ressort.

    On réalise expérimentalement le dispositif suivant : un objet de masse m est attaché à un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide L et posé sur un rail horizontal. 0

    Un dispositif expérimental permet de relever la position M de l'objet en fonction du temps.

     OMx.uOn notera et on notera X la position de l'objet par rapport à sa position d'équilibre. x

    On se placera dans le référentiel terrestre local supposé galiléen.

    z Curseur de

    position (M)

     Masse Rail à coussin m d'air.

     O x -1-2Données numériques: k = 10 N.m ; m = 100 g ; g = 9,81 m.s

B.II Oscillations idéales (sans frottements)

    La masse m est posée sur un rail à coussin d'air horizontal (en fonctionnement). On supposera donc qu'il n'y a pas de pertes par frottements entre le rail et l'objet.

B.II.1. Étude expérimentale.

    À l'aide du dispositif expérimental et d'un tableur, un enseignant trace la courbe en annexe : Oscillations 1

B.II.1.a. De quel type de mouvement s'agit-il ?

    B.II.1.b. Quelles ont été les conditions initiales ?

    B.II.1.c. Déterminer la période du mouvement.

B.II.2. Étude théorique.

On suppose que l'objet a été écarté de sa position d'équilibre d'une distance X et lâché sans 0

    vitesse initiale.

B.II.2.a. Étude dynamique.

    B.II.2.a.1. Faire un bilan des forces et en déduire l'équation différentielle dont X(t) est solution. B.II.2.a.2. Calculer X(t). On notera ~ la pulsation propre de ce système. 0

    B.II.2.a.3. Calculer la période d'oscillation T et comparer à la valeur expérimentale du B.II.1.c

B.II.2.b. Étude énergétique.

    B.II.2.b.1. Définir l'énergie potentielle associée à une force . On précisera les conditions F

    d'existence de cette grandeur. ;;FkxL.uB.II.2.b.2. Quelle serait l'énergie potentielle associée à une force ? On précisera r0x

    le choix de l'origine pour cette énergie.

    B.II.2.b.3. Énoncer le théorème de l'énergie mécanique.

    B.II.2.b.4. Retrouver l'équation différentielle du mouvement en utilisant le théorème de l'énergie

    mécanique.

B.II.3 Premier élève

    Au cours de la séance de T.P un élève recueille la courbe en annexe : Oscillations 2 .

    Expliquer ce qu'a fait l'élève.

B.III Deuxième élève ; oscillations amorties

    L'objet de masse m est toujours posé sur un rail à coussin d'air horizontal. Un des élèves s'est amusé à mettre une "voile" sur l'objet. Il apporte alors à son professeur la

    courbe X(t) en annexe: Oscillations 3

B.III.1. Etude expérimentale.

B.III.1.a. De quel type de mouvement s'agit-il ?

    B.III.1.b. Quelles ont été les conditions initiales ?

    B.III.1.c. Ce mouvement est-il périodique ? Donner l'équation de l'enveloppe : courbe qui rejoint

    les maxima.

    B.III.1.d. À l'aide du graphique et des données numériques du B.I., évaluer l'énergie qui a été

    dissipée au cours de la première oscillation.

B.III.2. Étude théorique.

On suppose que l'objet a été écarté de sa position d'équilibre d'une distance X et lâché sans 0

    vitesse initiale. FavOn modélise la force due à la "voile" par une force de frottement "fluide" : , avec flu;vx.uvecteur vitesse (). vx

B.III.2.a. Étude dynamique.

    B.III.2.a.1. Faire un bilan des forces et en déduire l'équation différentielle dont X(t) est solution.

    2;;;X2?~X~X0On mettra cette équation sous la forme : ; ? et ~ sont des constantes à 000

    déterminer en fonction de a, k et m.

    ?~t0B.III.2.a.2. Montrer que dans le cas où ? < 1 , avec à déterminer en ;;X(t)X.e.cost0

    fonction de a, k et m.

    B.III.2.a.3. Comment appelle-t-on ? Que deviendrait le mouvement si ? > 1 ?

    B.III.2.a.4. À l'aide du graphique et des données numériques du B.I, calculer ? et en déduire la valeur du coefficient de frottement a.

B.III.2.b. Etude énergétique. FavOn veut évaluer le travail de la force pour en déduire la valeur du coefficient de frottement flu

    a.

    ;;X(t)?X.cos~tOn suppose que pendant la première pseudo-période T: . 00FB.III.2.b.1. Exprimer la puissance instantanée reçue par l'objet de la part de . flu

    B.III.2.b.2. Que vaut alors son travail entre t = 0 et t = T ?

B.III.2.b.3. En utilisant la valeur de l'énergie dissipée trouvée au B.III.1.d, retrouver la valeur de a.

    La comparer à celle trouvée au B.III.2.a.4.

B.IV Troisième élève

    La masse m est toujours posée sur un rail à coussin d'air horizontal. Un des élèves apporte alors la courbe X(t) en annexe : oscillations 4.

    Devant l'air étonné du professeur, il avoue qu'il n'a pas mis la soufflerie en marche.

B.IV.1. Etude expérimentale.

    B.IV.1.a. De quel type de mouvement s'agit-il, et quelles ont été les conditions initiales ? B.IV.1.b. La dissipation d'énergie est-elle due à une force de frottement "fluide" ? B.IV.1.c. A l'aide du graphique et des données numériques du B.I., évaluer l'énergie qui a été

    dissipée au cours de la première ? oscillation (de t = 0 à t = t avec t instant correspondant au 11

    premier minimum de X).

B.IV.2. Etude théorique.

    On suppose que l'objet a été écarté de sa position d'équilibre d'une distance X et lâché sans 0

    vitesse initiale. RR.uR.uOn note la réaction du support, dont on suppose qu’elle vérifie les lois de TxNz

    Coulomb du frottement solide. On confondra les coefficients de frottement statique et dynamique, on notera alors f le coefficient de frottement.

    B.IV.2.a. Énoncer les lois de Coulomb du frottement solide.

    B.IV.2.b. Lorsque le solide est arrêté, la position expérimentale du point M est donnée par X(t??) = 0,8 cm.

    En déduire la valeur de la réaction tangentielle lorsque le solide est à l’arrêt.

    B.IV.2.c. Représenter les forces qui s'exercent sur l'objet pendant le mouvement de t à t. 1

    B.IV.2.d. Calculer littéralement le travail de la réaction Ren fonction de X(0) et X(t) 1

    B.IV.2.e. En utilisant la valeur de l'énergie dissipée trouvée au B.IV.1.c, trouver la valeur de f.

    Annexe Oscillations mécaniques: Courbes expérimentales.

    Oscillations 1

    X(t)

    15

    10

    5

    0

    X en cm

    -5

    -10

    -15

    1 graduation = 50 ms

    Oscillations 2

    X(t)

    15

    10

    5

    0

    X en cm

    -5

    -10

    -15

    1 graduation = 50 ms

    Oscillations 3

    X(t)

    15

    10

    5

    0

    X en cm

    -5

    -10

    -15

    1 graduation = 50 ms

    Oscillations 4

    X(t)

    15

    10

    5

    0

    X en cm

    -5

    -10

    -15

    1 graduation = 50 ms

Report this document

For any questions or suggestions please email
cust-service@docsford.com