DOC

Notion de rayon lumineux

By Clyde Fox,2014-11-26 16:13
7 views 0
Notion de rayon lumineux

    LP 44 Notion de rayon lumineux

    Principe de Fermat

A) Notion de rayon lumineux

    1) Approche qualitative

Considérons une onde plane arrivant sur un diaphragme:

    La limitation matérielle de l'onde incidente entraîne un phénomène d'éparpillement de la lumière, appelé diffraction.

    Par ailleurs, on s'aperçoit que plus le diaphragme est petit, plus de phénomène de diffraction est important, c'est-à-dire que l'éparpillement de la lumière est plus grand. Maintenant, si on néglige le phénomène de diffraction nous verrons plus avant à quelles

    conditions cette approximation est valable on peut considérer que l'énergie lumineuse est

    localisée dans le cylindre limité par le trou. On appelle alors rayon lumineux la droite que l'on peut imaginer (et qui est une pure vue de l'esprit) lorsqu'on réduit les dimensions du trou à l'infini tout est continuant à négliger le phénomène de diffraction. Montrer avec un laser ainsi

    que la diffraction.

    Ceci constitue bien entendu une idéalisation étant donné qu'une diminution des dimensions du trou entraîne une augmentation de l'ampleur du phénomène de diffraction.

     2) Approximation des faibles longueurs d'ondes:

    Nous allons voir ici dans quelle mesure l'idéalisation effectuée précédemment est valide. On peut montrer que si l'on impose une limitation à l'étendue spatiale de l'onde, la (xD;

    (kxklimitation de la composante sur du vecteur d'onde est reliée à par: (xx

    (x.(k?0,5 x

    (kAutrement dit, plus est petit, plus est grand, ce qui implique un éparpillement plus (xx

    important.

    ?2Ceci implique que, comme et (ksin? , (xDx?

    ?sin? ?10D

    Donc pour pouvoir négliger le phénomène de diffraction, il faut que soit petit et donc ?

    que . ?,,10D

    ?1?mPar exemple, pour une ouverture de 10, il faut , ce qui, pour ces dimensions ?m

    de diaphragme, contient les longueurs d'ondes du visible.

    L'optique géométrique apparaît donc comme l'approximation des très faibles longueurs d'onde.

B) Propagation des rayons lumineux:

     1) Principe de Fermat

    Le premier énoncé du principe de Fermat a été fait en 1657 sous la forme :" la nature procède toujours par les voies les plus courtes", ce qui appliqué aux rayons lumineux, mène à affirmer que pour aller de A à B, un rayon lumineux empruntera le chemin qui assure la plus petite valeur au temps de parcours:

    Bn, où n est l'indice du milieu (.dsAB?cA

    ce qui revient à dire qu'il faut que:

    B

     soit extrémal Ln.dsAB?A

    LLa grandeur est appelée chemin optique de A à B. AB

     2) Conséquences immédiates:

    LnAB; dans un milieu homogène, on qui est extrémal ssi le trajet se fait en ligne AB

    droite.

    ABA; on a avec . ;;Ln.dsn.dsn.ds'ds'dsAB???ABB

    LLCeci constitue le principe du trajet inverse de la lumière: si est extrémal, alors ABBA

    l'est aussi, ce qui signifie que la nature géométrique de la trajectoire ne dépend pas du sens de parcours.

; Equation des rayons lumineux:

Ecrivons mathématiquement le principe de Fermat:

    A B

La différence de chemin optique entre ces deux trajets vaut :

    ~;;;;LABAB'CC

    B?? ;;?~nu.dr??A?

     ;; dr~dr ;;; ~r~rd~r; dr

On a donc :

    B;;~~Lnu.dr;;?A BBB;;;;;;~n.u.drn~.u.drn.u.~dr???AAA;;;;2or comme , on a donc et donc la deuxième intégrale est nulle. u1u.~u0~udr;;;;;;Or et donc et, par intégration par ;;u.drds;;~ngradn.~r~n.u.drgradn.~r.ds

    BBBB;;;;;;;;;;B. Le premier terme étant nul, parties ;,;;;;nu~.drnu~.rdnu.~rnu~.drdnu.~rA????AAAA

    En écrivant alors que , on trouve que: ~L0

    B;;. Cette expression étant valable quelque soit les chemins choisis, ;,;;gradn.dsdnu.~r0?A

    on obtient l'équation des rayons lumineux: ;dnu;;gradn ds

    Cette relation est très souvent utilisée pour l'étude de la propagation dans des milieux à gradients d'indice, milieux rencontrés dans les phénomènes de mirages ou les fibres optiques par exemple.

     3) Lois de Snell-Descartes pour la réflexion et la réfraction

On considère l'interface de séparation entre deux milieux d'indices n et n: 12

     A n1 ; i1 u 1

    I I' ;u 2n2 i2 B Le chemin optique de A à B s'écrit ici:

    ;; ;;LABnAInIBnu.AInu.IB121122

    On a donc:

    ~;;;;LLAI'BLAIB

    ;;n(AI'AI)nI'BIB 12

    ;;nu~.Inu.~I1122

    ~ICeci devant être valable quelque soit le déplacement infinitésimal , on a: ;;;nunuN 1122

    On voit donc que pour la réflexion et pour la réfraction, les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d'incidence défini par le rayon incident et la normale au plan : ceci constitue la première loi de Snell-Descartes pour la réflexion et la réfraction.

Par ailleurs on a: ;;;;nuNnuN soit la deuxième loi de la réfraction : nsininsini11221122

Pour la réflexion, il suffit d'écrire d'où on tire que nni'i1211

    On peut donc résumer les lois de Descartes de la façon suivante: ) les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d'incidence défini par la normale au

    point d'incidence et le rayon incident

    ) l'angle de réflexion et l'angle d'incidence sont reliés par i'i 11

    ) l'angle de réfraction et l'angle d'incidence sont reliés par nsininsini1122

    Les lois sur la réfraction montre qu'il existe toujours un rayon réfracté quand nn, mais 21

    n1sini1par contre, quand nn, il existe une valeur de ipour lequel , et donc pour tout 1121n2

    n1sini1angle d'incidence supérieur à cet angle limite, on a et il est donc impossible de 1n2

    définir l'angle réfracté. IL n'y a donc pas d'angle réfracté au dessus d'un certain angle limite

    ??n2?défini par . Montrer l'angle limite. iarcsinlim?n1?

C) Conséquences et applications:

     1) Phénomène de mirage:

    Le phénomène de mirage est observé par les journées de forte chaleur. On attribue ce phénomène à l'existence d'un gradient d'indice causé par l'échauffement de l'air qui induit des

    ;;nzn.zvariations de densité de l'air. On peut modéliser cette variation d'indice par , 0

    , puisque l'air est plus chaud vers le sol, donc moins dense et donc l'indice est plus 0

    faible (l'indice est d'autant plus proche de 1 que le milieu est proche du vide). ;;dnu;;Utilisons alors l'équation des rayons lumineux. On a nu. En multipliant 0zds;;dunu;zu0vectoriellement cette relation par , on trouve que , ce qui implique que le zds

    rayon lumineux reste toujours dans le même plan xOz.

    Introduisons alors l'angle que fait la tangente au rayon lumineux en z et la verticale locale, ;;défini par . ;;izuusinz

    ;;;;;;nzsinizcstenzsiniOn a alors . SS

    En introduisant alors l'angle complémentaire de i, on a, si on suppose cet angle petit, on a

    22????;;nzsini1dz1/2???SS?1sininznz. On a alors . Par ailleurs on suppose ;;;;???SS?;;nz2dxsini???S???

    .z,,nque l'effet est petit, soit , et donc on peut écrire 0

    ??????nzinzsin.;;SS0s???. On en izziizzsin11sinsin1ssSSS???;;nznznnnn.00000???

    2dz2??tire que . En dérivant par rapport à x, on tire que: ;;zz?Sdxn?0

    22dzdzdzdz2, et donc . 222dxndxndxdx00

    L'équation de la trajectoire du rayon lumineux s'écrit alors:

    x2;;zxzx. stani2ns0

    On assiste donc à un phénomène qui se traduit ainsi:

    On voit donc les objets comme s'ils étaient à l'envers. C'est en particulier ceci qui explique pourquoi, lors de fortes chaleurs, on à l'impression qu'il y a des mares d'eau sur le sol: il s'agit en fait du reflet du ciel.

     2) Fibres optiques:

Report this document

For any questions or suggestions please email
cust-service@docsford.com