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Notion de rayon lumineux

By Clyde Fox,2014-11-26 16:13
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Notion de rayon lumineux

    LP 44 Notion de rayon lumineux

    Principe de Fermat

A) Notion de rayon lumineux

    1) Approche qualitative

Considérons une onde plane arrivant sur un diaphragme:

    La limitation matérielle de l'onde incidente entraîne un phénomène d'éparpillement de la lumière, appelé diffraction.

    Par ailleurs, on s'aperçoit que plus le diaphragme est petit, plus de phénomène de diffraction est important, c'est-à-dire que l'éparpillement de la lumière est plus grand. Maintenant, si on néglige le phénomène de diffraction nous verrons plus avant à quelles

    conditions cette approximation est valable on peut considérer que l'énergie lumineuse est

    localisée dans le cylindre limité par le trou. On appelle alors rayon lumineux la droite que l'on peut imaginer (et qui est une pure vue de l'esprit) lorsqu'on réduit les dimensions du trou à l'infini tout est continuant à négliger le phénomène de diffraction. Montrer avec un laser ainsi

    que la diffraction.

    Ceci constitue bien entendu une idéalisation étant donné qu'une diminution des dimensions du trou entraîne une augmentation de l'ampleur du phénomène de diffraction.

     2) Approximation des faibles longueurs d'ondes:

    Nous allons voir ici dans quelle mesure l'idéalisation effectuée précédemment est valide. On peut montrer que si l'on impose une limitation à l'étendue spatiale de l'onde, la (xD;

    (kxklimitation de la composante sur du vecteur d'onde est reliée à par: (xx

    (x.(k?0,5 x

    (kAutrement dit, plus est petit, plus est grand, ce qui implique un éparpillement plus (xx

    important.

    ?2Ceci implique que, comme et (ksin? , (xDx?

    ?sin? ?10D

    Donc pour pouvoir négliger le phénomène de diffraction, il faut que soit petit et donc ?

    que . ?,,10D

    ?1?mPar exemple, pour une ouverture de 10, il faut , ce qui, pour ces dimensions ?m

    de diaphragme, contient les longueurs d'ondes du visible.

    L'optique géométrique apparaît donc comme l'approximation des très faibles longueurs d'onde.

B) Propagation des rayons lumineux:

     1) Principe de Fermat

    Le premier énoncé du principe de Fermat a été fait en 1657 sous la forme :" la nature procède toujours par les voies les plus courtes", ce qui appliqué aux rayons lumineux, mène à affirmer que pour aller de A à B, un rayon lumineux empruntera le chemin qui assure la plus petite valeur au temps de parcours:

    Bn, où n est l'indice du milieu (.dsAB?cA

    ce qui revient à dire qu'il faut que:

    B

     soit extrémal Ln.dsAB?A

    LLa grandeur est appelée chemin optique de A à B. AB

     2) Conséquences immédiates:

    LnAB; dans un milieu homogène, on qui est extrémal ssi le trajet se fait en ligne AB

    droite.

    ABA; on a avec . ;;Ln.dsn.dsn.ds'ds'dsAB???ABB

    LLCeci constitue le principe du trajet inverse de la lumière: si est extrémal, alors ABBA

    l'est aussi, ce qui signifie que la nature géométrique de la trajectoire ne dépend pas du sens de parcours.

; Equation des rayons lumineux:

Ecrivons mathématiquement le principe de Fermat:

    A B

La différence de chemin optique entre ces deux trajets vaut :

    ~;;;;LABAB'CC

    B?? ;;?~nu.dr??A?

     ;; dr~dr ;;; ~r~rd~r; dr

On a donc :

    B;;~~Lnu.dr;;?A BBB;;;;;;~n.u.drn~.u.drn.u.~dr???AAA;;;;2or comme , on a donc et donc la deuxième intégrale est nulle. u1u.~u0~udr;;;;;;Or