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Equa__es de 2o grau

By Gordon Nichols,2014-07-16 16:16
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Equa__es de 2o grauEQUA,E S,GRAU,equa,grau,2 O,2 o

    Equações de 2º grau

    Definições:

     Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

    2ax + bx + c = 0; a, b, c IR e

     Exemplo: 2 ; x- 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 2; 6x - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. 2; 7x - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. 2; x - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

     Nas equações escritas na forma ax? + bx + c = 0 (forma normal ou forma

    reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de

    coeficientes.

     a é sempre o coeficiente de x?;

     b é sempre o coeficiente de x,

     c é o coeficiente ou termo independente.

Equação completas e Incompletas

     Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

    x? - 9x + 20 = 0 e -x? + 10x - 16 = 0 são equações completas.

     Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

    ; x? - 36 = 0 ; x? - 10x = 0 ; 4x? = 0

    (b = 0) (c = 0) (b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau

     Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.

    Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma

    equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

    O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:

    ; Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da

    equação x? - x - 2 = 0 ?

    Solução

     Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

    (-1)? - (-1) - 2 = 0

    Para x = -1 1 + 1 - 2 = 0 (V)

    0 = 0

    0? - 0 - 2 = 0

    Para x = 0 0 - 0 -2 = 0 (F)

    -2 = 0

    1? - 1 - 2 = 0

    Para x = 1 1 - 1 - 2 = 0 (F)

    -2 = 0

    2? - 2 - 2 = 0

    Para x = 2 4 - 2 - 2 = 0 (V)

    0 = 0

     Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

    ; Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x? - 2px - 2 = 0.

    Solução

    Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.

    ; Logo, o valor de p é .

    Resolução de equações incompletas

     Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.

     Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração

    e duas importantes propriedades dos números reais:

     1ª Propriedade:

     2ª Propriedade:

     1º Caso: Equação do tipo . C = 0

     Exemplo:

    ; Determine as raízes da equação , sendo .

    Solução

    Inicialmente, colocamos x em evidência:

     Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja.

    Assim:

    Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

     De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .

     2º Caso: Equação do tipo b =0

     Exemplos:

    ; Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

     Solução

     um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo

    Resolução de equações completas

     Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de

    Bhaskara.

     A partir da equação , em que a, b, c IR e ,

    desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

    1º passo: multiplicaremos ambos os membros por

    4a.

    2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

    3º passo: adicionar aos dois membros.

    4º passo: fatorar o 1º elemento.

    5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

    6º passo: passar b para o 2º membro.

    7º passo: dividir os dois membros por .

     Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

     Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

     Exemplos:

    ; resolução da equação:

     Temos

    Discriminante

    2 Denominamos discriminante o radical b - 4ac que é representado pela letra grega (delta).

     Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

     De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .

     O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

     Exemplo:

    ; Para quais valores de k a equação x? - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e

    desiguais?

    Solução

     Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter

     Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo

     O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim

    representadas:

     Exemplo:

    ; Determine o valor de p, para que a equação x? - (p - 1) x + p-2 = 0 possua

    raízes iguais.

    Solução

    Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

     Logo, o valor de p é 3.

3º Caso: O discriminante é negativo .

     O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.

     Exemplo:

    ; Para quais valores de m a equação 3x? + 6x +m = 0 não admite nenhuma

    raiz real?

    Solução

    Para que a equação não tenha raiz real devemos ter

     Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

    Resumindo

     Dada a equação ax? + bx + c = 0, temos:

     Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.

     Para , a equação tem duas raízes reais iguais.

     Para , a equação não tem raízes reais.

EQUAÇÕES LITERAIS

    As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns

    termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações

    literais.

    As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas parâmetros.

    Exemplos: 2 ax+ bx + c = 0 incógnita: x

     parâmetro: a, b, c 2 ax - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: x

     parâmetro: a

     Equações literais incompletas

     A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das

    equações numéricas.

     Observe os exemplos: 22; Resolva a equação literal incompleta 3x - 12m=0, sendo x a variável.

     Solução 22 3x - 12m = 0 22 3x = 12m 22 x = 4m

     x=

     Logo, temos: 2; Resolva a equação literal incompleta my- 2aby=0,com m0, sendo y a

    variável.

     Solução 2 my - 2aby = 0

     y(my - 2ab)=0

    Temos, portanto, duas soluções:

     y=0

     ou

     my - 2ab = 0 my = 2ab y=

    Assim:

     Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido: 2 my - 2aby= 0 2 my= 2aby

     my = 2ab

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .

    O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.

    Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos,

    evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo. Equações literais completas

    As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de

    Bhaskara:

    Exemplo: 222 Resolva a equação: x - 2abx - 3ab, sendo x a variável.

     Solução 22 Temos a=1, b = -2ab e c=-3ab

Portanto:

Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

     RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES 2 Considere a equação ax+ bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais

    dessa equação.

     Logo:

Observe as seguintes relações:

    ; Soma das raízes (S)

    ; Produto das raízes (P)

     Como ,temos:

     Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações. 2; Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x + x - 2 = 0. Solução

    Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2. A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a

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