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TEMA 1

By Renee Crawford,2014-07-15 10:41
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TEMA 1tema,Tema,TEMA

    EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE MATEMÁTICAS 4º ESO

    TEMA 1

    NÚMEROS REALES

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números naturales: Se representan con la letra N

    :,N1,2,3,............

Números enteros: Se representan con la letra Z

    :,Z..............-3,.2,-1,0,1,2,3,.........

     Son los naturales, los naturales con signo menos y el cero

     N ? Z se lee :N contenido en Z, es decir todo número natural es entero

Números racionales: Se representa con la letra Q

    Son todos los que se pueden expresar en forma de razón o fracción: los enteros (fracciones con denominador uno), decimales exactos y decimales periódicos.

     Z ? Q se lee Z contenido en Q, es decir todo número entero, y por eso también todo número natural, es racional.

Números irracionales: Se representan con la letra I

    Son los que no se pueden expresar como razón: decimales infinitos y no periódicos, las raíces no exactas y los números ~ , e

     Por su propia definición un número racional no es irracional y análogamente un número irracional no puede ser racional

Números reales: Se representan con la letra R

    Los números racionales y los irracionales forman los números reales R:

     Q ? I = R

    Son números reales los naturales, enteros, fraccionarios (decimales exactos y periódicos) e irracionales (decimales infinitos y no periódicos) No son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo

Todos los números reales se pueden representar en una recta

Ejercicios:

1) De los siguientes números:

    3-7605, 4, 0'23, -7, 1'54777...,-3, 257,, 2'375892..., -3'565656...., -8, , -37, 5503

    Escribe los que son racionales:

Escribe los que son irracionales:

Escribe los no reales:

Escribe los reales:

    2) Escribe 5 números irracionales, 5 racionales, 5 reales y 5 no reales

    Hacer los ejercicios: 9,12,13,21,23 del texto. Páginas 20-21

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    EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE MATEMÁTICAS 4º ESO NOTACIÓN MATEMÁTICA

    Se conoce como notación científica los símbolos que se utilizan para expresar una idea de modo concreto y sencillo.

    Los símbolos que más utilizamos son:

    < menor que, ejemplo 3<9;

    > mayor que, ejemplo 10>2

    ?? menor o igual que: x 2, son todos los números reales menores que 2 incluido el 2 ?? mayor o igual que: x 5, son todos los números reales mayores que 5 incluido el 5

     semejante ejemplo un cuadrado de 1m de lado esa oto de 2m de lado ??

    aproximadamente, ejemplo 2‟37542'37

    ?? Equivalente 2x+5 = x+6 x =1

     Se deduce o implica ?

    Para todo número o valor

     Existe

    Tal que, también se simboliza I o con

     indica y; indica o ??

    ? Pertenece, ejemplo 2 N ?

    Unión. La unión de dos conjuntos A y B, se escribe A B, es el conjunto formado ??

    por los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.

     Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B, se escribe AB, es el ??

    conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B

    ?Contenido contenido o igual ?

    Si sobre estos símbolos se cruza una línea indica lo contrario:

    ? No igual o distinto no pertenece……. ?

    ( Infinito, vacío, I I Valor absoluto ?

    Si tenemos dos números reales a y b tales que a es menor que b: Intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales que son

    ??a,bmayores que a y menores que b, se representa por (a,b) o por con notación de

    ??a,b:,x?Raxbconjunto =

    ??:,2,7x?R2x7Ejemplo: = , gráficamente ----I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I Son todos los números que son mayores que 2 y menores que 7 Intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales que son

    ??a,bmayores o iguales que a y menores o iguales que b, se representa por , con

    ??:,a,bx?Ra?x?bnotación de conjunto =

    ??2,7:,x?R2?x?7Ejemplo: = , gráficamente ----I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I Son todos los números que son mayores o iguales que 2 y menores o iguales que 7

    ??a,?Todos los números mayores que a forman el intervalo , con notación de conjunto:

    :,??x?Raxa,?=

    ??:,2,?x?R2xEjemplo: =, gráficamente ----I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I Son todos los números mayores que 2

    ???,bTodos los números menores que b forman el intervalo, con notación de conjunto:

    ??:,?,bx?Rxb=

    :,???,7x?Rx7Ejemplo: =, gráficamente----I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I

Son todos los números menores que 7

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    EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE MATEMÁTICAS 4º ESO

    ???a,?a,?Todos los números mayores o iguales que a forman el intervaloo , con

    :,??x?Ra?xa,?notación de conjunto: = es intervalo semiabierto o semicerrado

    :,??x?R2?x2,?Ejemplo: =, gráficamente----I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I Son todos los números mayores o iguales que 2

    ???(?,b?,bTodos los números menores o iguales que b forman el intervalo o , con

    ??:,(?,bx?Rx?bnotación de conjunto:= es intervalo semiabierto o semicerrado

    ??:,(?,7x?Rx?7Ejemplo: =, gráficamente----I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I--I Son todos los números menores o iguales que 7

Ejercicios:

    1.- Escribe con notación de conjunto, con notación de intervalo y gráficamente: a) Todos los números reales que son mayores que -7

    b) Todos los números que son mayores que -5 y menores que 6

    c) Todos los números comprendidos entre 2‟6 y 10‟5

    d) Todos los números reales que son menores que 9/3

    e) Todos los números reales que son mayores o iguales que 3

    f) Todos los números que son mayores o iguales que 3 y menores o iguales que 20 g) Todos los números comprendidos entre -5 y 14

    7h) Todos los números reales que son menores o iguales que

    2.- Escribe con frase y gráficamente el significado de los siguientes intervalos:

    1????????,!,!a)(5,7)b),7c)(?,7d)2,?e)4,?f)0,70 ??5??

    Un número en notación científica se expresa como el producto de un número decimal, con valor absoluto comprendido entre 1 y 10, por una potencia de 10 Para sumar (o restar) números con notación científica tienen que tener el mismo exponente en la potencia y se suman (o restan) los números decimales y se deja la misma potencia

    Para multiplicar (o dividir) números con notación científica se multiplican (o dividen) los números decimales y las potencias

     44-3 Ejemplos: 23 478 =2‟3478 ?10 2‟3?10; 0‟00135 = 1‟35 ? 10

     3222222 0‟7 ?10+1‟3 ?10-2‟5 ?10 = 7?10 + 1‟3?10 0‟25?10= (7+1‟3 – 0‟25) ?10= 8‟05 ?104-37342’3?10 ? 1’35 ? 10= 3’105 ? 10 1’3 ? 10 : 1’1 ? 10 = 1’18 ? 10

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    EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE MATEMÁTICAS 4º ESO TEORIA DE RADICALES

    Definición de raíz n-esima de un número real

    Llamamos raíz n-ésima de un número real a, a otro número real b que, elevado a la potencia n, nos da como resultado el radicando

    nna b ? b a

    5454 Ejemplos : 322 pues 232 81?3 pues (?3)81

    En la siguiente raíz los elementos que la componen reciben el nombre de

    La letra b es la ra ?

    ? La letra n es el dice ?

    ?La letra m es el exponente del radicandomn c ab?El signo se llama signo radical ?

     La letra c es el coeficiente ?

    ?m La expresi a es el radicando ?

    Todas las operaciones en las que aparece el signo radical se llaman operaciones con radicales o simplemente radicales

    Un radical es igual a una potencia de exponente fraccionario que tiene de base la base del radicando y de exponente una fracción cuyo numerador es el exponente del radicando y cuyo denominador es el índice del radical

    mnmnaa

    113135333555325 Ejemplos: 2x (2x)2x 2xy 2xy

     Propiedad fundamental de los radicales: El valor de un radical no cambia si se

    multiplican o se dividen el exponente del radicando y el índice del radical por un mismo número

    n.pnmm.paa

    Esta propiedad nos permite transformar radicales en otros equivalentes y se utiliza para:

     1) Simplificar radicales: si dividimos el exponente de radicando y el índice del radical

    623Ejemplo: 33por el mismo número.

    2) Reducir radicales a índice común: para ello calculamos previamente el mínimo común múltiplo de los índices y éste será el índice común. Posteriormente multiplicaremos el exponente de cada radical por el mismo número que hemos multiplicado sus índices

    ( es el que resulta de dividir el índice común por el índice que tenía el radical)

    3530302321020451230Ejemplo: 2x, y,3?2x,y,3

    Racionalizar radicales es sustituir una fracción por otra equivalente que no tenga raíces en el denominador.

    Estudiaremos los casos siguientes:

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    EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE MATEMÁTICAS 4º ESO 1 ) Si el denominador es un monomio con un radical de índice dos, se multiplican numerador y denominador por el radical del denominador.

    335353535 Ejemplo: 24.520454554(5)

    2) Si el denominador es un monomio con un radical de índice n, multiplicaremos los dos términos de la fracción por la raíz n-ésima de una expresión cuyo producto por el radicando del denominador sea potencia n-ésima perfecta

    42342342355532xy32xy32xy3Ejemplo: 323242355555552xy2xy2xy2xy2xy

    3) Si en el denominador aparecen binomios con radicales de índice dos, se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador

    El conjugado se obtiene al cambiar el signo de uno de los términos del binomio En el denominador queda el producto de una suma por una diferencia que es igual a la diferencia de sus cuadrados y de esta manera eliminamos sus raíces

    6(5(y)65(6y65(6y6Ejemplos:2225(y5y(5y)(5(y)(5)(y

    3(26)3323632363236222(6(42(6(2(6)(26)(2)((6)

    555Ejemplo x, yz, 2xLos radicales son homogéneos si tienen el mismo índice.

    Los radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

    555Ejemplo x, -5 x, 3x

    Para introducir un factor dentro de un radical, basta elevar ese factor a un exponente

    23633Ejemplo: 4xy4xyigual al índice del radical.

    Para extraer factores de un radical realizamos la división del exponente entre el índice. El cociente es el exponente del factor que extraemos de la raíz y el resto es el exponente del factor que se queda en el radicando. Sólo se pueden extraer los factores que tienen un exponente mayor o igual que el

    7322233Ejemplo:2xy 2x 2yíndice.

Operaciones con radicales.

    Para sumar radicales tienen que ser semejantes. Para sumar radicales semejantes se suman los coeficientes de los sumandos y se deja el mismo radical. En el caso de que los radicales no sean semejantes, hay que intentar transformarlos en otros equivalentes que sí lo sean (Reduciendo a índice común, racionalizando o sacando factores) En el caso que no se pueda, la operación se deja indicada.

    222Ejemplo: abcabc(2abc(aa(2a)bc(a(a)bc

    Para multiplicar radicales tienen que ser homogéneos. Para multiplicar radicales homogéneos se multiplican los radicandos y los coeficientes dejando el mismo índice. Si los radicales no son homogéneos los transformamos reduciendo a índice común.

    622332323366Ejemplo: 2x?3y2x?3y2?xy

    Para elevar un radical a una potencia elevaremos su radicando a dicha

    33248Ejemplo :(x)xpotencia.

     Raíz de una raíz es una raíz que tiene por índice el producto de los índices y el

    5315Ejemplo:xyzxyzmismo radicando.

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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE MATEMÁTICAS 4º ESO

    Operaciones con radicales

1.- Extrae las siguientes raíces:

    4(27364 (16 22564

    1(833 144 81 729125

    3 -25 64

    2163333(27 -216 729343

    6729b3433 (125 16 512216

    (14443 (81 625 (1296 627b

    (3261245 4xy 1464110b

2.- Escribe como potencias los siguientes radicales:

    c-25348333z a xa c2

    33ab222533yy 2xy 4 (xy)322b

3.- Escribe con radicales las potencias fraccionarias:

     21112533xy23332x (3ab) 4(x-y) 4

    34y4.- Realiza las siguientes operaciones y pon el resultado en forma de radical:

    11111111332??333242422??5? 5? 5 2: 2: 2 27 35: 7 ????

    5.- Extraer los factores posibles:

    1453123 216102436bbbxb,,,,4

    6

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE MATEMÁTICAS 4º ESO

    6118b654733b,,,,bcbx8125332b75

    412965759443bxyxbbm,,,, 64102424332

6.- Introduce los factores en el radical y simplifica:

    14x93222xx3mxmxxyx334827

    22a9a23333,!339 x-y53316

7.- Racionalizar:

3222 35927a2x

    343x243 2232352yzab24xyz

    2325 xyxya(ba(b

    521x 23x-y236x,!2x

    a5a2abm3ab3(1a(b

    2a(b53a27733(((53ba53a2

    xy2(2m3ax4 5252xayx(2(25(1q m 53

    33537 33644364132 5(2 33 7

    7

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE MATEMÁTICAS 4º ESO

8.- Calcula el valor de las siguientes expresiones:

    224325ab)) (((53(31(51(633161

    516231cd)) - - - - 7(,,211277522(((75

9.- Transforma los siguientes radicales en otros equivalentes (tres de cada uno)

    423536333645 2ab 3xy 2xy

10.- Reduce a índice común los siguientes radicales:

    325245625336103mxmxmxyxbbb,,, b a) b)

    4363542832 16 381327c) d)

    2392335334103463956xxxx2346xyxyxyxye) f)

    11.- Efectuar las siguientes sumas:

    a) 32 52 ( 72 42b) 23 ( 33 53 ( 43

    11c) 220 480 ( 5180 3125d) 128 6512 ( 32 ( 39842

    23141e) 20 ( 80 180 645f) 27 ( 243 75 ( 24855233

    9251416g) 5 ( 38 4 ( 2h ) 7 ( 53 2 ( 2722233

    14252732i) 3 7 ( 25 20j) 36 ( 4 3 55623

    321k) 7 ( 210 40 l) 23 - 327 448 - 5300 997254

    5020081125 m) 26 ( 3 3 324 n) 38 ( 5 16 ( 5 33288

    33334444o) 2 16 3 54 - 128 250p) 2 4375 ( 9072 - 3 567 112

    4444q) 5 176 ( 3 891 6 6875 ( 2 14256

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    EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE MATEMÁTICAS 4º ESO

    111466108 248583432816r)s)(()(268

    14191321t)(6 u)2801(8(1(236549481

    9xx21y)(8x v)3x(4x236x(5x(2x2x25

    2x3x6x2a2ba2ab333A)((z)3(25 ba2bab294125

    624243cdabd4acdbcC)4a(8b(9a(18b216a(32b B)(23acdacbdd

    323D)(3(2x)12(8x(3x(2x

    12. Efectúa las siguientes operaciones:

    941111 a) 12 : b) 26 18 : 2 c) 48 : 3 34125039

    22,!,!d) 2 3 e) 2 ( 3

    4 6 2 3 3 6 ( 2 3,!,! f)

    ,!2 10 - 2

    ????25912 33 - 2????h) 8 32 ( 3 g) ? ????2822 - 33 2????

    34,!,!k)a?a?a?ai) 2 32 - 50 18j) 3 108 - 27 48= =

    223334434n)??m)23(4(3)l)2?3?4 332

    3121533o)12???p)xy?(2x(2y) 454

    3232q)(32(23)?(33(22)r)(a(b)?(ab)

    ??4633??336t)12(53:9)4?(s)x(y?x(y?27x(27y ??3??

    ??xy1233223??w)(x(1)?v)(xyu)ab?2ab?ab ??x(1yx??

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    EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE MATEMÁTICAS 4º ESO

    ??21a4b2b??33x)2a: y)?:22??4a2baa????

    ??6554??a?aa??34??z):a: ??3287????aa????

    13.- Escribe las siguientes expresiones bajo un solo radical y simplifica los resultados:

    134333a)8b)22c)32d)234e)39

    111ab3333 f)333g)24h)ai)32aba

    2211aa333334 j)bbk)b?bl)2581256bbbb

     32??248??m)16516n)3a6a(25ao)abcd????

    10

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